Comment donner une approximation d’un nombre réel à l’aide de suites ?

Introduction

En mathématiques, on travaille souvent avec des nombres réels… mais beaucoup d’entre eux ne peuvent pas être écrits exactement, comme [math]\pi[/math], [math]e[/math] ou encore [math]\sqrt{2}[/math]. Alors, comment fait-on pour les calculer avec précision ? Une réponse élégante, c’est d’utiliser les suites, qui permettent de se rapprocher petit à petit d’un nombre réel en l’approximation.

I. Approximations par suites numériques simples

1. Les suites arithmétiques et géométriques pour encadrer un nombre

Prenons l’exemple classique : approcher [math]\sqrt{2}[/math].

On sait que :

1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2.

Donc [math]\sqrt{2}[/math] se situe entre 1 et 2.

Une façon de raffiner cette approximation est la méthode de dichotomie :

• on choisit le milieu de l’intervalle, [math]1{,}5[/math], et on calcule [math]\left(1{,}5\right)^2 = 2{,}25 > 2[/math]. Donc [math]\sqrt{2} \in [1, 1{,}5][/math].
• on recommence avec le milieu [math]1{,}25[/math], et on obtient [math]\left(1{,}25\right)^2 = 1{,}5625 < 2[/math]. Donc [math]\sqrt{2} \in [1{,}25, 1{,}5][/math].
• puis [math]1{,}375^2 = 1{,}8906 < 2[/math] → nouvel intervalle [math][1{,}375, 1{,}5][/math].

Et ainsi de suite…

On construit donc deux suites :

• une suite croissante [math]a_n[/math], qui part de 1 et se rapproche par en bas de [math]\sqrt{2}[/math],
• une suite décroissante [math]b_n[/math], qui part de 2 et se rapproche par en haut de [math]\sqrt{2}[/math].

Ces deux suites convergent vers la même limite : [math]\sqrt{2}[/math].

C’est un bel exemple de suites adjacentes (croissante/décroissante) qui permettent d’encadrer et d’approximer un nombre réel.

2. Suite de Newton pour les racines carrées

La dichotomie fonctionne, mais elle converge assez lentement.

Pour aller plus vite, on peut utiliser la méthode de Newton.

On cherche [math]\sqrt{a}[/math], c’est-à-dire la solution de [math]x^2 = a[/math], ou encore [math]f(x) = x^2 – a = 0[/math].

La formule de Newton donne une suite :

u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}.

Or [math]f(x) = x^2 – a[/math], donc [math]f'(x) = 2x[/math].

Cela donne :

u_{n+1} = u_n - \dfrac{u_n^2 - a}{2u_n} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right).

C’est la formule dite de Babylone pour calculer les racines carrées.

Exemple : calcul de [math]\sqrt{2}[/math]

Prenons [math]u_0 = 1[/math].

• Étape 1 : [math]u_1 = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{2}{1}\right) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5[/math].
• Étape 2 : [math]u_2 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}5 + \dfrac{2}{1{,}5}\right) = \dfrac{1{,}5 + 1{,}333…}{2} \approx 1{,}4167[/math].
• Étape 3 : [math]u_3 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}4167 + \dfrac{2}{1{,}4167}\right) \approx \dfrac{1{,}4167 + 1{,}4118}{2} \approx 1{,}4142[/math].

On sait que [math]\sqrt{2} \approx 1{,}414213562…[/math].

En seulement 3 itérations, on a déjà une approximation à 4 décimales exactes !

II. Approximations par suites et développement des fonctions

1. Suites liées aux séries numériques

Un exemple célèbre d’approximation par suite est celui du nombre [math]e[/math], la base des logarithmes naturels.

On définit la suite :

u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.

Cette suite est croissante et converge vers [math]e \approx 2{,}71828…[/math].

Calculons quelques termes pour voir cette convergence :

• [math]u_{10} = \left(1 + \tfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 2{,}5937[/math]
• [math]u_{100} = \left(1 + \tfrac{1}{100}\right)^{100} \approx 2{,}7048[/math]
• [math]u_{1000} = \left(1 + \tfrac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2{,}7169[/math]

On voit bien que la suite s’approche petit à petit de [math]e \approx 2{,}71828[/math].

Ce type d’approximation est utile car [math]e[/math] est un nombre irrationnel, impossible à écrire sous forme de fraction exacte. Les suites permettent donc de le calculer avec la précision voulue.

2. Développements limités et suites d’approximation

Une autre façon d’approcher un nombre réel est d’utiliser les développements limités (DL), c’est-à-dire les polynômes de Taylor.

Exemple : la fonction sinus. Pour des petits angles, on a :

\sin(x) \approx x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots

Prenons [math]x = 0{,}1[/math] radian.

• Approximation au 1er ordre : [math]\sin(0{,}1) \approx 0{,}1[/math]
• Approximation au 3e ordre : [math]\sin(0{,}1) \approx 0{,}1 – \dfrac{0{,}1^3}{6} \approx 0{,}09983[/math]
• Valeur exacte : [math]\sin(0{,}1) \approx 0{,}09983[/math]

En seulement deux termes, on obtient déjà une excellente précision !

Autre exemple : pour le logarithme, on peut utiliser le développement limité autour de 0 :

\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots

Pour [math]x = 0{,}1[/math] :

• Approximation : [math]0{,}1 – 0{,}1^2/2 = 0{,}095[/math]
• Valeur exacte : [math]\ln(1,1) \approx 0{,}09531[/math]

Ici aussi, une suite polynomiale fournit une très bonne approximation.

III. Erreurs d’approximation

Lorsqu’on approxime un nombre par une suite, il est essentiel de mesurer l’erreur commise.

On définit l’erreur au rang [math]n[/math] par :

\varepsilon_n = |u_n - \ell|

où [math]\ell[/math] est la valeur limite cherchée.

Exemple comparatif :

• Pour calculer [math]\sqrt{2}[/math] avec la méthode de Newton, l’erreur [math]\varepsilon_n[/math] diminue extrêmement vite (on gagne presque le double de décimales à chaque étape).
• Pour calculer [math]e[/math] avec [math]u_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n[/math], la convergence est beaucoup plus lente : il faut prendre [math]n=1000[/math] pour atteindre 3 décimales correctes.

Cela montre que toutes les suites ne convergent pas à la même vitesse, et que dans la pratique il faut choisir la méthode la plus efficace en fonction du contexte.

Conclusion

Les suites ne sont pas seulement des objets abstraits : elles sont un outil concret pour approcher des nombres réels comme [math]\pi[/math], [math]e[/math] ou [math]\sqrt{2}[/math]. Elles montrent comment, à force d’itérations, on peut atteindre la précision souhaitée. C’est une belle illustration du rôle des maths : transformer l’infini en quelque chose de calculable.

On espère que ce sujet vous aidera, et que vous saurez l’exploiter au mieux pour briller à votre épreuve !