Machine Enigma : combinatoire, probabilité et cryptographie

Introduction

Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisaient une machine appelée Enigma pour chiffrer leurs messages militaires. Avec ses rotors et ses câblages, elle produisait un nombre gigantesque de combinaisons, si bien qu’on la croyait incassable. Pourtant, grâce aux mathématiques, et notamment aux travaux d’Alan Turing et de son équipe, ce code a été brisé.

I. La machine Enigma : fonctionnement et enjeux historiques

1. Principe de base de la machine

La machine Enigma est l’une des plus célèbres machines de cryptographie de l’Histoire. Elle a été utilisée par l’armée allemande pendant la Seconde Guerre mondiale pour chiffrer toutes ses communications stratégiques.

Son fonctionnement repose sur un principe simple mais très ingénieux :

• Un opérateur tape une lettre sur un clavier électrique.
• Le courant traverse alors une série de rotors, chacun réalisant une permutation des 26 lettres de l’alphabet.
• Après avoir traversé les rotors et un réflecteur, le courant revient par les mêmes rotors dans l’autre sens.
• Une lampe s’allume sur le tableau, donnant la lettre chiffrée.

Chaque frappe provoque en plus la rotation d’un rotor (le «rotor rapide»), ce qui décale toutes les permutations. Ainsi, même si on tape deux fois la même lettre, elle ne sera pas chiffrée de la même manière.

Mathématiquement, chaque rotor est une permutation de l’ensemble [math]{A,B,C,\dots,Z}[/math]. Si l’on compose plusieurs permutations (rotor de droite, rotor du milieu, rotor de gauche, puis le réflecteur), on obtient une permutation beaucoup plus complexe, qui change après chaque frappe de touche.

C’est ce mécanisme de permutation + rotation qui rend le code d’Enigma si puissant : le chiffrement dépend non seulement de la clé initiale, mais aussi de la position courante des rotors.

2. L’importance du secret : un nombre astronomique de clés

Chaque jour, les opérateurs allemands recevaient une clé secrète quotidienne, composée de plusieurs paramètres. Ces choix, combinés entre eux, créaient un espace de configurations gigantesque.

Voyons cela étape par étape avec des outils de dénombrement.

a) Choix et ordre des rotors

Parmi 5 rotors disponibles, il fallait en choisir 3, dans un certain ordre.

C’est une arrangement de 5 objets pris 3 à 3 :

A_5^3 = 5\times 4\times 3 = 60.

b) Orientation initiale des rotors

Chaque rotor peut être placé sur 26 positions différentes (une par lettre de l’alphabet).

Comme il y a 3 rotors : [math]26^3 = 17576[/math] positions possibles.

c) Tableau de connexions (le “plugboard”)

C’est la partie la plus complexe. On y connecte généralement 10 câbles qui relient 20 lettres sur 26 par paires.

1. On choisit d’abord les 20 lettres à connecter : [math]\binom{26}{20}[/math] façons.
2. Puis on forme des paires entre ces 20 lettres. Le nombre de façons de partitionner 20 lettres en 10 paires est :

\dfrac{20!}{2^{10}10!}

(en effet, on divise par [math]2^{10}[/math] car l’ordre dans chaque paire ne compte, et par [math]10![/math] car l’ordre des paires ne compte pas non plus).

Au total, le nombre de configurations du plugboard vaut :

\binom{26}{20}\times\dfrac{20!}{2^{10}10!}\approx 6\times 10^{14}.

d) Nombre total de clés

En combinant les trois étapes :

N = 60 \times 26^3 \times \left(\binom{26}{20}\dfrac{20!}{2^{10}10!}\right).

Ce produit donne environ :

N \approx 1,6\times 10^{20}.

e) Interprétation et comparaison d’ordres de grandeur

Si on testait 1 clé par seconde, il faudrait :

\dfrac{1,6\times 10^{20}}{60\times 60\times 24\times 365}\approx 5\times 10^{12}\ \text{années}.

Or, l’âge de l’univers est estimé à environ [math]1,4\times 10^{10}[/math] années.

Donc même en testant une clé par seconde depuis le Big Bang, on n’aurait pas fini d’explorer l’espace des clés d’Enigma !

La force d’Enigma reposait donc uniquement sur la taille astronomique de son espace de clés.

C’est pourquoi les Allemands étaient persuadés qu’Enigma était «incassable». Mais comme on le verra, ce n’est pas la taille de l’espace qui a vaincu les Alliés, mais les faiblesses logiques et l’utilisation des probabilités.

II. Les faiblesses exploitées : probabilités et statistiques

1. Les “cribs” (hypothèses sur des mots probables)

Pour casser Enigma, les Alliés ne pouvaient pas tester les [math]1,6 \times 10^{20}[/math] clés possibles une par une : c’était matériellement impossible.

Ils ont donc cherché à exploiter des régularités linguistiques.

Les messages militaires allemands contenaient souvent des phrases répétitives.

Exemples :

• beaucoup de messages se terminaient par «Heil Hitler»,
• les bulletins météo contenaient presque toujours le mot «Wetter» (météo),
• parfois, les positions navales ou les dates suivaient un format fixe.

Ces suppositions étaient appelées cribs.

L’idée était simple mais brillante : si l’on connaît une partie du message clair, on peut tester rapidement une configuration.

• Si la clé essayée transforme le message chiffré en un texte compatible avec le crib, elle devient candidate.
• Sinon, on l’écarte immédiatement.

2. Probabilités et élimination de clés

Le décryptage était en réalité une enquête probabiliste.

Prenons un exemple :

• Supposons qu’on teste une clé candidate.
• On obtient un début de message déchiffré : «HEIL HZTLER».
• La probabilité que ce soit un vrai message allemand est très faible (faute de frappe impossible).
• On peut donc rejeter la clé immédiatement.

Inversement, si une clé donne «HEIL HITLER», la probabilité que ce soit correct est très forte.

Les cryptanalystes utilisaient donc des raisonnements de ce type pour éliminer rapidement les clés absurdes.

Chaque rejet augmentait l’efficacité : inutile de tester toute la configuration, une incohérence suffit.

En langage de probabilités : on ne cherche pas à calculer exactement [math]P(\text{clé correcte})[/math] pour chaque clé, mais à éliminer celles qui donnent un [math]P(\text{message plausible} \mid \text{clé}) \approx 0[/math].

3. Les bombes électromécaniques

Tester même quelques millions de clés à la main restait impossible. Alan Turing et son équipe ont donc inventé une machine : la Bombe électromécanique.

Cette machine n’était pas une «machine de Turing» théorique, mais une véritable machine physique. Elle utilisait trois idées mathématiques :

1. Simulation parallèle : la Bombe pouvait simuler plusieurs Enigma en même temps, en reliant électriquement des circuits logiques.
2. Règle de non-fixation : une faiblesse d’Enigma était qu’une lettre ne pouvait jamais être chiffrée par elle-même (par ex., A ne peut jamais devenir A). → Cela permettait d’écarter des clés impossibles.
3. Exploitation des cribs : la Bombe utilisait les mots supposés («Heil Hitler», «Wetter») pour vérifier rapidement des chaînes de correspondances.

En pratique :

• Une Bombe pouvait tester des milliers de clés en quelques minutes,
• en rejetant automatiquement celles qui violaient les contraintes logiques.

On était donc passé d’un problème de taille [math]10^{20}[/math] (infaisable) à un problème réduit par la logique et les probabilités, qui devenait exploitable en temps de guerre.

III. Réflexions et prolongements

1. Importance des mathématiques dans la cryptographie

L’histoire d’Enigma montre à quel point les mathématiques peuvent avoir un impact direct sur le cours du monde.

Sans notions de combinatoire, de logique et de probabilité, il aurait été impossible de décrypter les messages allemands. La victoire des Alliés doit donc beaucoup aux mathématiciens…

Aujourd’hui encore, la cryptographie moderne repose sur des concepts mathématiques profonds :

• le chiffrement RSA utilise l’arithmétique modulaire et la difficulté de factoriser de grands nombres premiers,
• l’AES (Advanced Encryption Standard) s’appuie sur des transformations mathématiques complexes dans des espaces finis…

Dans les deux cas, ce qui garantit la sécurité, ce n’est pas seulement la technologie, mais bien la solidité des fondements mathématiques.

2. Ouverture

Le décryptage d’Enigma a aussi marqué la naissance d’une nouvelle discipline : l’informatique.

Alan Turing, en concevant les «bombes électromécaniques», n’a pas seulement cassé un code : il a posé les bases théoriques de l’ordinateur moderne et de l’intelligence artificielle.

Aujourd’hui, les enjeux sont toujours aussi cruciaux. Dans la cybersécurité, les mathématiques protègent les transactions bancaires, les communications sur Internet, les données personnelles. La cryptographie est devenue un véritable outil stratégique et politique : protéger ou intercepter l’information, c’est aussi protéger ou menacer un pays.

Conclusion

Enigma illustre donc une vérité fondamentale : les mathématiques ne sont pas qu’une science abstraite, elles sont aussi un instrument de pouvoir et de décision, capable d’influencer aussi bien la guerre d’hier que le monde numérique d’aujourd’hui.

On espère que ce sujet vous aidera, et que vous saurez l’exploiter au mieux pour briller à votre épreuve !