Le surbooking

Introduction

Il vous est peut-être déjà arrivé d’entendre une annonce à l’aéroport disant qu’il n’y a plus assez de places dans l’avion, alors que vous aviez acheté votre billet. C’est ce qu’on appelle le surbooking. Les compagnies aériennes vendent parfois plus de billets que de sièges disponibles, car elles savent qu’une partie des passagers ne viendra pas. Mais comment décident-elles du nombre de billets à vendre sans prendre trop de risques ? C’est là que les mathématiques, et en particulier les probabilités, entrent en jeu.

I. Comprendre le phénomène de surbooking

1. Le principe du surbooking

Le surbooking consiste à vendre plus de billets que de places réellement disponibles.

Exemple : un avion possède [math]180[/math] sièges, mais la compagnie vend [math]190[/math] billets.

Parce qu’une fraction des clients ne se présente pas à l’embarquement : ce sont les no-shows.

On modélise ce phénomène en posant :

• [math]n[/math] = nombre de billets vendus (ex. [math]n=190[/math]) ;
• [math]p[/math] = probabilité qu’un passager se présente ;
• [math]1-p[/math] = probabilité d’être absent (taux de no-show).

Si l’on suppose que chaque passager décide indépendamment, alors le nombre de présents suit une loi binomiale :

X \sim \mathcal{B}(n,p).

Cette modélisation permet de quantifier :

• l’effectif moyen attendu à l’embarquement : [math]\mathbb{E}[X]=np[/math] ;
• la variabilité autour de cette moyenne : [math]\mathrm{Var}(X)=np(1-p)[/math], et son écart-type : [math]\sigma=\sqrt{np(1-p)}[/math].

Exemple. Si [math]n=190[/math] et [math]p=0{,}95[/math] (5 % d’absents en moyenne), alors : [math]\mathbb{E}[X]=190\times 0{,}95=180{,}5[/math] (on s’attend à ~ 180,5 présents) et [math]\sigma=\sqrt{190\times 0{,}95\times 0{,}05}\approx 3{,}0[/math].

2. Les enjeux pour les compagnies

Le surbooking met en tension profit et risque.

L’entreprise doit choisir [math]n[/math] (nombre de billets à vendre) pour :

• maximiser la recette attendue (plus de billets vendus, moins de sièges vides),
• tout en contrôlant le risque de surcapacité (probabilité [math]\mathbb{P}(X>S)[/math] et coût associé).

Avec l’exemple. Pour [math]S=180[/math], [math]n=190[/math], [math]p=0{,}95[/math], on a [math]\mathbb{E}[X]=180{,}5[/math] et [math]\sigma\approx 3[/math]. Cela suggère que les dépassements au-delà de 180 sont possibles mais “modérés” (quelques unités typiquement), d’où un coût parfois non nul. La compagnie choisira [math]n[/math] de sorte que la probabilité [math]\mathbb{P}(X>180)[/math] reste sous un seuil cible (ex. 5 %) fixé par sa politique de service et la réglementation.

II. Modélisation mathématique du surbooking

1. Probabilités et loi binomiale

On note [math]X[/math] le nombre de passagers présents à l’embarquement.

Hypothèses :

• Chaque passager vient avec probabilité [math]p[/math], n’indépendamment des autres.
• Alors [math]X \sim \mathcal{B}(n,p)[/math].

Paramètres utiles :

• Espérance : [math]\mathbb{E}[X]=np[/math] (moyenne attendue de présents).
• Variance : [math]\mathrm{Var}(X)=np(1-p)[/math], écart-type [math]\sigma=\sqrt{np(1-p)}[/math] (mesure de la dispersion).

Objectif pratique : évaluer la probabilité d’être à l’aise (au plus 180 présents) ou en surcapacité (plus de 180).

• Probabilité «tout le monde assis» : [math]\mathbb{P}(X\le S)=\mathbb{P}(X\le 180)[/math].
• Probabilité de refuser des passagers : [math]\mathbb{P}(X>S)=\mathbb{P}(X\ge 181)[/math].

Ici la moyenne [math]180{,}5[/math] est très proche du seuil [math]180[/math] et [math]\sigma\approx 3[/math]. On s’attend donc à être en surcapacité environ une fois sur deux avec [math]n=190[/math].