Comment les mathématiques permettent-elles de modéliser l’évolution d’une épidémie ?

Introduction

Quand une épidémie apparaît, on a l’impression qu’elle se propage de manière imprévisible. Pourtant, les mathématiques permettent non seulement d’expliquer comment elle se diffuse, mais aussi d’anticiper son évolution et d’agir pour la contrôler.

I. Décrire la croissance d’une épidémie : modèles simples

1. La croissance exponentielle au début de l’épidémie

Lorsqu’une épidémie démarre, l’idée de base est simple : chaque personne malade en contamine d’autres.

On note [math]R_0[/math] le taux de reproduction de base : c’est le nombre moyen de personnes contaminées par un seul malade.

• Si [math]R_0 = 1[/math], l’épidémie stagne.
• Si [math]R_0 < 1[/math], elle finit par disparaître.
• Si [math]R_0 > 1[/math], elle explose.

On peut alors écrire une formule pour le nombre de malades après [math]n[/math] «générations» d’infection :

M_n = M_0 \cdot R_0^n,

où [math]M_0[/math] est le nombre initial de malades.

En temps continu, cela se traduit par une fonction exponentielle :

M(t) = M_0 e^{rt},

où [math]r[/math] est lié à la vitesse de propagation.

Exemple : imaginons qu’au départ [math]M_0 = 10[/math] personnes soient infectées et que [math]R_0 = 2[/math].

• Après 1 génération : [math]M_1 = 20[/math].
• Après 2 générations : [math]M_2 = 40[/math].
• Après 5 générations : [math]M_5 = 10 \cdot 2^5 = 320[/math].

En seulement quelques étapes, le nombre de malades explose. C’est ce qu’on a observé lors des premières semaines du Covid-19 : les courbes de cas étaient exponentielles.

2. Le modèle logistique : quand la croissance ralentit

Le modèle exponentiel, aussi simple soit-il, a une limite : il suppose une population infinie et sans contraintes. Or, dans la réalité, une épidémie ne peut pas croître indéfiniment.

• Parce que la population totale est limitée.
• Parce qu’au fur et à mesure, beaucoup de personnes deviennent immunisées ou guérissent.
• Parce que les mesures sanitaires réduisent les contacts.

Pour tenir compte de cette réalité, on utilise le modèle logistique, qui ajoute une borne maximale [math]K[/math] correspondant à la taille totale de la population.

La formule est :

M(t) = \dfrac{K}{1 + A e^{-rt}},

où [math]A[/math] dépend du nombre initial de malades.

• Au début, le terme [math]e^{-rt}[/math] est grand, donc la croissance ressemble beaucoup à une exponentielle.
• Mais au fur et à mesure, [math]e^{-rt}[/math] devient petit, et [math]M(t)[/math] se rapproche de [math]K[/math].

Exemple : imaginons une petite ville de 1000 habitants ([math]K = 1000[/math]).

Même si au départ l’épidémie double très vite, elle ne pourra jamais dépasser [math]1000[/math] malades.

La courbe commence donc par monter rapidement, puis ralentit et finit par se stabiliser en formant une sigmoïde (forme en S).

Ce modèle a été utilisé par les épidémiologistes pour prévoir le nombre total de cas lors d’épidémies comme la grippe ou le Covid.

II. Probabilités et statistiques pour étudier la propagation

1. Probabilité d’infection et espérance de malades

Un contact entre une personne infectée et une personne saine peut être vu comme une épreuve de Bernoulli :

• avec probabilité [math]p[/math], la personne saine est contaminée ;
• avec probabilité [math]1-p[/math], elle reste saine.

Si [math]n[/math] personnes sont exposées, le nombre total de nouveaux malades [math]X[/math] suit une loi binomiale :

X \sim \mathcal{B}(n,p).

Cela signifie que la probabilité d’obtenir exactement [math]k[/math] contaminés est :

\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

L’espérance (la moyenne théorique attendue) vaut :

\mathbb{E}[X] = np.

Exemple : supposons que [math]n=100[/math] personnes soient en contact avec un malade, et que la probabilité de transmission soit [math]p=0{,}1[/math].

On obtient :

\mathbb{E}[X] = 100 \times 0{,}1 = 10.

Donc, en moyenne, 10 personnes seront contaminées.

Mais attention : ce n’est qu’une moyenne. En réalité, le nombre peut varier : par exemple, la probabilité qu’il y ait exactement 10 contaminés vaut [math]\mathbb{P}(X=10) = \binom{100}{10} (0{,}1)^{10} (0{,}9)^{90},[/math].