Échelle de Richter : en quoi les logarithmes sont-ils utiles pour mesurer l’intensité des séismes ?

Introduction

Quand on entend parler d’un séisme à la télévision, on nous dit souvent : «magnitude 6», «magnitude 7», parfois même «magnitude 9». Mais que signifient vraiment ces chiffres ? Comment peut-on résumer en un seul nombre la puissance d’un tremblement de terre, qui libère une énergie colossale ?

La réponse se trouve dans un outil mathématique que nous connaissons bien : le logarithme. C’est grâce à lui que les scientifiques transforment des données brutes immenses (amplitudes, énergies) en une échelle lisible et compréhensible. Voyons comment les logarithmes permettent de mesurer l’intensité des séismes et pourquoi ils sont indispensables dans ce domaine.

I. Mesurer les séismes : des données brutes à une échelle pratique

1. L’amplitude des ondes sismiques

Lorsqu’un séisme se produit, il libère une onde qui se propage dans le sol. Les sismographes enregistrent cette onde et mesurent son amplitude, que l’on note [math]A[/math].

Le problème, c’est que cette amplitude peut varier dans des proportions énormes :

• un petit séisme peut produire une vibration imperceptible,
• tandis qu’un très grand séisme peut générer une amplitude jusqu’à 10 millions de fois plus grande.

Si on utilisait une échelle linéaire, il faudrait comparer des nombres gigantesques : 1, 1000, 1 000 000… Ce serait totalement impraticable.

Exemple concret : imaginons deux séismes, l’un ayant une amplitude [math]A[/math], l’autre ayant une amplitude [math]1000A[/math]. Sur une échelle classique, on devrait dire «le deuxième est mille fois plus fort». Mais ce genre de comparaison est peu intuitif, surtout si on doit comparer un séisme 10 millions de fois plus puissant qu’un autre !

C’est précisément pour résoudre ce problème qu’on a introduit les logarithmes.

2. La naissance de l’échelle de Richter

En 1935, Charles Richter a proposé de mesurer la magnitude d’un séisme avec une formule logarithmique :

M = \log_{10}\left(\tfrac{A}{A_0}\right),

où [math]A_0[/math] est une amplitude de référence fixée par les sismologues.

Exemple numérique :

• Si [math]A = 10 A_0[/math], alors [math]M = \log_{10}(10) = 1[/math].
• Si [math]A = 1000 A_0[/math], alors [math]M = \log_{10}(1000) = 3[/math].

Ainsi, une variation énorme d’amplitude est traduite en une simple addition sur la magnitude.

II. Propriétés mathématiques des logarithmes et interprétation des magnitudes

1. La croissance multiplicative devient une addition grâce au logarithme

L’idée fondamentale de l’échelle de Richter repose sur une propriété clé des logarithmes :

\log(ab) = \log(a) + \log(b).

Cela veut dire que si une amplitude est multipliée par un certain facteur, le logarithme traduit ce facteur en une simple addition.

Conséquence directe :

• multiplier l’amplitude par 10 → ajoute +1 à la magnitude,
• multiplier par 100 → ajoute +2,
• multiplier par 1000 → ajoute +3.

Exemple :

• un séisme de magnitude [math]4[/math] correspond à une certaine amplitude [math]A[/math].
• si un séisme a une magnitude [math]6[/math], alors son amplitude est [math]100A[/math] (puisqu’on a deux unités de magnitude de plus, soit [math]10^2[/math]).