Mathématiques et physique en Formule 1

Introduction

Tout le monde connaît la Formule 1 comme un sport de vitesse et de spectacle. Mais derrière chaque virage et chaque dépassement, il y a en réalité énormément de mathématiques et de physique : trajectoires optimisées, forces aérodynamiques, gestion des pneus et même stratégies de course. C’est ce que nous allons voir aujourd’hui.

I. La vitesse et les trajectoires

1. Les trajectoires idéales

Lorsqu’une Formule 1 aborde un virage, la question est simple : comment aller le plus vite possible sans sortir de la piste ?

Mathématiquement, un virage peut être modélisé comme un arc de cercle de rayon [math]R[/math].

La force qui agit sur la voiture est la force centrifuge (ou plutôt la force centripète nécessaire pour maintenir la trajectoire circulaire) :

F = \tfrac{mv^2}{R}

où :

• [math]m[/math] est la masse de la voiture,
• [math]v[/math] sa vitesse,
• [math]R[/math] le rayon de courbure.

Cela signifie que plus la vitesse est grande, plus la force demandée est énorme, car [math]v^2[/math] apparaît au numérateur.

L’astuce des pilotes est donc d’agrandir le rayon [math]R[/math] du virage :

• Si on prend le virage « à la corde » (le point le plus intérieur), le rayon est petit → on doit ralentir beaucoup.
• Si on prend une trajectoire plus large (extérieur → corde → extérieur), le rayon est plus grand → on peut passer plus vite.

L’idée est donc de parcourir une distance un peu plus grande, mais à une vitesse bien plus élevée, ce qui réduit le temps total.

2. Les équations différentielles du mouvement

Après un virage, la voiture accélère de nouveau.

Sa vitesse [math]v(t)[/math] obéit à l’équation différentielle :

\tfrac{dv}{dt} = \tfrac{F_\text{moteur} - F_\text{résistances}}{m}.

• Le moteur pousse la voiture ([math]F_\text{moteur}[/math]),
• Les frottements mécaniques et l’air s’y opposent ([math]F_\text{résistances}[/math], souvent proportionnelle à [math]v^2[/math]),
• Le tout est divisé par [math]m[/math], la masse de la voiture.

Cette équation montre qualitativement que :

• Au départ, [math]F_\text{moteur}[/math] est largement supérieur → la vitesse augmente vite.
• Mais plus [math]v[/math] grandit, plus [math]F_\text{résistances}[/math] augmente.
• Finalement, on atteint un équilibre où [math]F_\text{moteur} = F_\text{résistances}[/math] → la vitesse ne croît plus, elle tend vers une vitesse limite asymptotique.

En course, cette asymptote dépend de l’aérodynamique et de la puissance du moteur : une F1 est conçue pour que cette vitesse maximale soit très élevée sur les lignes droites, mais modulée en virage par la force centrifuge et l’adhérence des pneus.

II. Les forces en jeu : aérodynamique et frottements

1. La portance inversée (loi en [math]v^2[/math])

En aéronautique, les ailes génèrent une portance qui soulève l’avion. En Formule 1, c’est l’inverse : les ailerons sont conçus pour plaquer la voiture au sol. On parle alors de force d’appui aérodynamique.

La formule est :

F_\text{aéro} = \tfrac{1}{2}\rho S C_z v^2

où :

• [math]\rho[/math] est la densité de l’air,
• [math]S[/math] la surface de référence,
• [math]C_z[/math] le coefficient aérodynamique,
• [math]v[/math] la vitesse.

On voit que cette force croît comme [math]v^2[/math].

Cela explique pourquoi :

• à basse vitesse (dans les stands), une F1 a une adhérence limitée,
• mais à haute vitesse, l’appui devient énorme, ce qui permet à la voiture de négocier les virages à des vitesses impossibles pour une voiture «normale».

Comparons avec la force centrifuge en virage [math]F = \tfrac{mv^2}{R}[/math] :
les deux forces croissent en [math]v^2[/math], mais l’appui augmente la capacité des pneus à supporter cette force → la F1 peut tourner bien plus vite qu’une voiture de route.

Vidéo super intéressante à aller visionner :

2. Optimisation pneus et frottements

Le deuxième ingrédient, ce sont les pneus.

Leur adhérence est modélisée par la loi de Coulomb :

F_f \leq \mu N,

où :

• [math]\mu[/math] est le coefficient de frottement pneu/sol,
• [math]N[/math] est la force normale qui appuie sur les pneus.