Le paradoxe des deux enveloppes

Introduction

Quand on parle de paradoxes en mathématiques, on pense souvent à des situations où le raisonnement semble correct… mais mène pourtant à une conclusion absurde.

Le paradoxe des deux enveloppes en est un bel exemple : deux enveloppes, de l’argent à l’intérieur, et une question simple : faut-il changer d’enveloppe pour maximiser son gain ? À première vue, les calculs paraissent montrer qu’il vaut toujours mieux changer. Mais si c’était vrai, on devrait changer indéfiniment, ce qui est absurde. C’est là que les probabilités et l’espérance mathématique révèlent toute leur importance.

I. Le paradoxe : une situation trompeuse

1. Présentation du problème

Imaginons deux enveloppes :

• l’une contient une somme d’argent [math]X[/math],
• l’autre contient exactement le double, soit [math]2X[/math].

On choisit au hasard une des deux enveloppes. Supposons que tu découvres le contenu : par exemple, 50 €.

Le raisonnement intuitif est le suivant :

• Si les 50 € représentent la petite enveloppe ([math]X = 50[/math]), alors l’autre contient [math]2X = 100[/math].
• Si au contraire les 50 € représentent la grande enveloppe ([math]2X = 50 \Rightarrow X=25[/math]), alors l’autre contient [math]X = 25[/math].

Dans ce raisonnement, on attribue une probabilité [math]\tfrac{1}{2}[/math] à chacun des cas (50 € = petite ou grande).

On calcule donc l’espérance du gain si on change :

\mathbb{E}[\text{gain}] = \tfrac{1}{2} \cdot (2X) + \tfrac{1}{2} \cdot \left(\tfrac{X}{2}\right) = \tfrac{5}{4}X.

Or, comme [math]\tfrac{5}{4}X > X[/math], cela semble prouver qu’il est toujours préférable de changer d’enveloppe.

2. Pourquoi c’est paradoxal

À première vue, l’argument paraît correct. Pourtant, il conduit à une absurdité :

• Si tu changes une première fois, les calculs disent qu’il faut encore changer.
• Mais si tu changes à nouveau, le même raisonnement s’applique… donc tu devrais encore changer !

En suivant cette logique, tu serais poussé à changer indéfiniment, ce qui n’a aucun sens.

La source du paradoxe vient du fait qu’on mélange :

• une valeur fixe observée (par ex. 50 €),
• avec des probabilités mal définies (on suppose à tort que c’est [math]50/50[/math] d’avoir la petite ou la grande enveloppe, même après avoir ouvert).

Pour comprendre pourquoi ce raisonnement échoue, il faut analyser le rôle de l’espérance mathématique et des probabilités conditionnelles.

II. L’espérance mathématique et ses pièges

1. Rappel : l’espérance en probabilités

En probabilités, si [math]X[/math] est une variable aléatoire discrète prenant des valeurs [math]x_i[/math] avec des probabilités [math]p_i[/math], alors l’espérance est définie par :

\mathbb{E}[X] = \sum_i p_i \cdot x_i.

C’est une moyenne théorique : elle représente la valeur qu’on obtiendrait «en moyenne» si l’on répétait l’expérience un grand nombre de fois.

Exemple concret : pour un dé équilibré à 6 faces, la variable [math]X[/math] peut prendre les valeurs [math]1,2,3,4,5,6[/math] avec probabilité [math]\tfrac{1}{6}[/math] chacune.

On calcule :

\mathbb{E}[X] = \tfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = 3,5.

Cela signifie qu’en moyenne, un lancer de dé vaut 3,5. Bien sûr, on n’obtiendra jamais 3,5 en pratique : l’espérance n’est pas un gain garanti, mais une valeur moyenne idéale.