Comment évaluer la fiabilité d’un test de dépistage ?

Introduction

En médecine, on utilise de plus en plus de tests de dépistage pour détecter des maladies le plus tôt possible. Mais un test n’est jamais parfait : il peut se tromper, donner des faux positifs ou des faux négatifs. La question devient alors essentielle : comment savoir si un test est vraiment fiable, et comment les mathématiques peuvent nous aider à l’évaluer ?

I. Les probabilités dans un test de dépistage

1. Sensibilité et spécificité

Lorsqu’on parle de la fiabilité d’un test médical, on utilise deux probabilités fondamentales :

• La sensibilité est la probabilité que le test soit positif si la personne est malade : [math]\text{Sensibilité} = \mathbb{P}(\text{Test+ | Malade})[/math].
• La spécificité est la probabilité que le test soit négatif si la personne n’est pas malade : [math]\text{Spécificité} = \mathbb{P}(\text{Test- | Non malade})[/math].

Exemple : Un test a [math]95\%[/math] de sensibilité et [math]90\%[/math] de spécificité.

• Cela signifie que [math]95\%[/math] des malades seront correctement détectés.
• Mais aussi que [math]10\%[/math] des non malades auront quand même un résultat positif → ce sont les faux positifs.

2. Le tableau de contingence

Pour bien visualiser ces probabilités, on utilise un tableau à double entrée.

Supposons une population de 1000 personnes, dont 5 % sont malades.

• Cela fait [math]1000 \times 0,05 = 50[/math] malades,
• et [math]950[/math] non malades.

Appliquons le test :

• Parmi les 50 malades :
  • 95 % sont bien détectés → [math]50 \times 0,95 = 47{,}5 \approx 48[/math] vrais positifs.
  • 5 % ne sont pas détectés → [math]50 \times 0,05 = 2{,}5 \approx 2[/math] faux négatifs.
• Parmi les 950 non malades :
  • 90 % sont bien détectés → [math]950 \times 0,90 = 855[/math] vrais négatifs.
  • 10 % sont mal classés → [math]950 \times 0,10 = 95[/math] faux positifs.

On peut résumer dans un tableau :

Ce tableau met en évidence que même avec un bon test, il y a toujours des erreurs (faux positifs…).

II. Les probabilités conditionnelles et le théorème de Bayes

1. Probabilité d’être malade sachant que le test est positif

Si le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit réellement malade ?

C’est exactement la formule de Bayes :

\mathbb{P}(\text{Malade | Test+}) = \dfrac{\mathbb{P}(\text{Test+ | Malade}) \times \mathbb{P}(\text{Malade})}{\mathbb{P}(\text{Test+})}.

Application avec les données de la partie I :

• Sensibilité : [math]\mathbb{P}(\text{Test+ | Malade}) = 0{,}95[/math]
• Prévalence (proportion de malades) : [math]\mathbb{P}(\text{Malade}) = 0{,}05[/math]
• Probabilité totale d’un test positif :

\mathbb{P}(\text{Test+}) = \mathbb{P}(\text{Test+ | Malade}) \times \mathbb{P}(\text{Malade}) + \mathbb{P}(\text{Test+ | Non malade}) \times \mathbb{P}(\text{Non malade})

= 0{,}95 \times 0{,}05 + 0{,}10 \times 0{,}95 = 0{,}0475 + 0{,}095 = 0{,}1425.