Comment donner une approximation d’un nombre réel à l’aide de suites ?

Introduction

En mathématiques, on travaille souvent avec des nombres réels… mais beaucoup d’entre eux ne peuvent pas être écrits exactement, comme [math]\pi[/math], [math]e[/math] ou encore [math]\sqrt{2}[/math]. Alors, comment fait-on pour les calculer avec précision ? Une réponse élégante, c’est d’utiliser les suites, qui permettent de se rapprocher petit à petit d’un nombre réel en l’approximation.

I. Approximations par suites numériques simples

1. Les suites arithmétiques et géométriques pour encadrer un nombre

Prenons l’exemple classique : approcher [math]\sqrt{2}[/math].

On sait que :

1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2.

Donc [math]\sqrt{2}[/math] se situe entre 1 et 2.

Une façon de raffiner cette approximation est la méthode de dichotomie :

• on choisit le milieu de l’intervalle, [math]1{,}5[/math], et on calcule [math]\left(1{,}5\right)^2 = 2{,}25 > 2[/math]. Donc [math]\sqrt{2} \in [1, 1{,}5][/math].
• on recommence avec le milieu [math]1{,}25[/math], et on obtient [math]\left(1{,}25\right)^2 = 1{,}5625 < 2[/math]. Donc [math]\sqrt{2} \in [1{,}25, 1{,}5][/math].
• puis [math]1{,}375^2 = 1{,}8906 < 2[/math] → nouvel intervalle [math][1{,}375, 1{,}5][/math].

Et ainsi de suite…

On construit donc deux suites :

• une suite croissante [math]a_n[/math], qui part de 1 et se rapproche par en bas de [math]\sqrt{2}[/math],
• une suite décroissante [math]b_n[/math], qui part de 2 et se rapproche par en haut de [math]\sqrt{2}[/math].

Ces deux suites convergent vers la même limite : [math]\sqrt{2}[/math].

C’est un bel exemple de suites adjacentes (croissante/décroissante) qui permettent d’encadrer et d’approximer un nombre réel.

2. Suite de Newton pour les racines carrées

La dichotomie fonctionne, mais elle converge assez lentement.

Pour aller plus vite, on peut utiliser la méthode de Newton.

On cherche [math]\sqrt{a}[/math], c’est-à-dire la solution de [math]x^2 = a[/math], ou encore [math]f(x) = x^2 – a = 0[/math].

La formule de Newton donne une suite :

u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}.

Or [math]f(x) = x^2 – a[/math], donc [math]f'(x) = 2x[/math].

Cela donne :

u_{n+1} = u_n - \dfrac{u_n^2 - a}{2u_n} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right).

C’est la formule dite de Babylone pour calculer les racines carrées.

Exemple : calcul de [math]\sqrt{2}[/math]

Prenons [math]u_0 = 1[/math].

• Étape 1 : [math]u_1 = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{2}{1}\right) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5[/math].
• Étape 2 : [math]u_2 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}5 + \dfrac{2}{1{,}5}\right) = \dfrac{1{,}5 + 1{,}333…}{2} \approx 1{,}4167[/math].
• Étape 3 : [math]u_3 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}4167 + \dfrac{2}{1{,}4167}\right) \approx \dfrac{1{,}4167 + 1{,}4118}{2} \approx 1{,}4142[/math].

On sait que [math]\sqrt{2} \approx 1{,}414213562…[/math].

En seulement 3 itérations, on a déjà une approximation à 4 décimales exactes !

II. Approximations par suites et développement des fonctions

1. Suites liées aux séries numériques

Un exemple célèbre d’approximation par suite est celui du nombre [math]e[/math], la base des logarithmes naturels.

On définit la suite :

u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.