Finance : les intérêts composés

Introduction

Quand on place de l’argent, il rapporte des intérêts. Mais il faut distinguer deux façons de les calculer : intérêts simples ou intérêts composés. Dans le premier cas, les intérêts s’ajoutent toujours au capital de départ ; dans le second, ils s’ajoutent au capital déjà augmenté, et donc produisent à leur tour des intérêts.

I. Intérêts simples vs composés

1. Définitions et modèles de suites

En finance, il est important de bien distinguer deux façons de calculer les intérêts :

• Les intérêts simples : le capital de départ ne change pas, et les intérêts sont calculés toujours sur ce capital initial.
  On obtient alors une suite arithmétique : [math]U_k = U_0 (1 + kr)[/math]où :
  • [math]U_0[/math] est le capital de départ,
  • [math]r[/math] est le taux annuel,
  • [math]k[/math] est le nombre d’années.
• Les intérêts composés : ici, les intérêts s’ajoutent au capital à chaque période de capitalisation.
  Cela correspond à une suite géométrique :[math]U_k = U_0 \left(1 + \dfrac{r}{N}\right)^{Nk}[/math]où :
  • [math]N[/math] est le nombre de fois où les intérêts sont capitalisés dans l’année (1 = annuel, 12 = mensuel, 52 = hebdomadaire…),
  • [math]Nk[/math] est donc le nombre total de périodes écoulées en [math]k[/math] années.

2. Lecture graphique et interprétation

Si l’on trace sur un même graphique les deux modèles (avec le même capital initial [math]U_0[/math] et le même taux [math]r[/math]) :

• La courbe des intérêts simples est linéaire : elle croît régulièrement.
• La courbe des intérêts composés est convexe (en forme de courbe exponentielle) : elle croît de plus en plus vite.

L’écart entre les deux ne cesse de grandir avec le temps.

II. Capitalisation discrète vs limite continue : du mensuel à l’exponentiel

1. «4 % composés mensuellement» : sens et comparaison

Lorsqu’on parle d’un taux de 4 % composés mensuellement, cela ne signifie pas 4 % chaque mois, mais bien 4 % par an, répartis et ajoutés au capital en douze fois, c’est-à-dire à chaque mois.

Voici les formules selon la fréquence de capitalisation :

• Capitalisation annuelle :
  [math]U_k = U_0 (1+r)^k[/math]
• Capitalisation mensuelle :
  [math]U_k = U_0 \left(1 + \dfrac{r}{12}\right)^{12k}[/math]
• Capitalisation hebdomadaire :
  [math]U_k = U_0 \left(1 + \dfrac{r}{52}\right)^{52k}[/math]

Plus la capitalisation est fréquente, plus le capital final est élevé. Cependant, l’écart devient de plus en plus faible (annuel < mensuel < hebdomadaire < …).

Un graphe comparatif sur quelques années permet de bien visualiser cette différence : la courbe «sature» et tend vers une limite exponentielle.