Comment les mathématiques augmentent-elles nos chances de gagner aux jeux ?

Introduction

Depuis toujours, les jeux de hasard fascinent… et ruinent parfois ! 😅 Que ce soit à la roulette, au poker ou même dans des jeux télévisés, on a l’impression que tout repose sur la chance. Pourtant, derrière les dés, les cartes ou la roue, ce sont bien les mathématiques qui décident des probabilités et des gains.

En particulier, la notion d’espérance mathématique permet de savoir si un jeu est « équitable » ou non. Dans certains cas, les maths montrent que l’on perd toujours à long terme, comme à la roulette. Mais dans d’autres situations, elles permettent au contraire d’augmenter réellement ses chances de gagner, ou bien de révéler des résultats totalement contre-intuitifs.

Problématique : dans quelle mesure les mathématiques peuvent-elles nous aider à mieux comprendre (et parfois optimiser) nos chances de gagner aux jeux ?

I. La roulette française

1. Calculs d’espérance sur quelques mises

La roulette française comporte 37 cases : les nombres de 1 à 36 + une case 0 (qui n’appartient à aucune couleur ni série → c’est l’astuce du casino). On mise 1 €, et selon le type de pari, le gain est un multiple de la mise.

Exemple 1 : mise sur un numéro plein

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{1}{37}[/math].
• Gain si on réussit : 35 € (35 fois la mise).
• Sinon, perte de 1 €.

Espérance mathématique :

\mathbb E(G) = \tfrac{1}{37}\times 35 + \tfrac{36}{37}\times (-1) = -\tfrac{1}{37}.

Exemple 2 : mise sur une couleur (rouge/noir, 18 cases sur 37)

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{18}{37}[/math].
• Gain : +1 €.
• Perte sinon : -1 €.

Espérance :

\mathbb E(G) = \tfrac{18}{37}\times 1 + \tfrac{19}{37}\times (-1) = -\tfrac{1}{37}.

Résultat : que l’on mise sur un numéro ou sur une couleur, l’espérance est toujours négative : le joueur perd en moyenne 3 centimes par euro misé (en réalité [math]-\tfrac{1}{37} \approx -0,027[/math], soit environ 2,7 centimes par euro).

2. Formule générale et équation à résoudre

On peut évidemment généraliser.

Si on mise sur [math]x[/math] cases avec un gain de [math]y[/math] fois la mise en cas de succès, alors :

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{x}{37}[/math].
• Probabilité de perdre : [math]\tfrac{37-x}{37}[/math].
• Espérance :

\mathbb E(G) = \tfrac{x}{37}\cdot y + \tfrac{37-x}{37}\cdot (-1).

Simplifions :

\mathbb E(G) = \tfrac{xy - (37-x)}{37} = \tfrac{xy + x - 37}{37}.

Or, le casino choisit [math]y[/math] (le multiplicateur de gain) pour que le joueur perde toujours à long terme.

En posant [math]\mathbb E(G) = -\tfrac{1}{37},[/math] on obtient l’équation :

xy + x - 37 = -1 \quad \Rightarrow \quad x(1+y) = 36.

Donc :

y = \tfrac{36}{x} - 1.

Exemple : si on mise sur [math]x=12[/math] cases, alors [math]y = \tfrac{36}{12} – 1 = 2.[/math]

Le casino fixe donc le gain à +2 fois la mise.

II. Quand les maths donnent vraiment un avantage

1. Le poker : un jeu de probabilités conditionnelles

Contrairement à la roulette où tout est fixé d’avance, au poker les décisions influencent directement les gains. Les maths interviennent donc via les cotes (odds).

🎲 Exemple concret : Poker Texas Hold’em

Au poker, les joueurs reçoivent 2 cartes fermées et partagent 5 cartes communes.

Supposons qu’après le flop (les 3 premières cartes communes), un joueur ait 4 cartes à ♣ (trèfle). Il lui manque donc 1 seul ♣ pour compléter une couleur (5 cartes de la même famille), une main très forte.

Il reste 47 cartes inconnues, dont 9 trèfles favorables.

• Probabilité de réussir au turn (la 4e carte) : [math]P = \tfrac{9}{47} \approx 0,191 [/math].
• Cela correspond à des cotes d’environ 4 contre 1 : il faut en moyenne 4 échecs pour 1 réussite (car 20%=1/5).

Maintenant, imaginons que la mise à payer soit de 10 € pour espérer remporter un pot de 70 €.

Espérance de gain :

\mathbb{E}(G) = 0,191 \times 70 - 0,809 \times 10 = 13,37 - 8,09 = +5,28