Le Nombre d’Or et la Suite de Fibonacci

Introduction

Depuis l’Antiquité, un nombre fascine aussi bien les mathématiciens que les artistes : le nombre d’or [math]\varphi \approx 1,618[/math]. On le retrouve dans l’architecture grecque 🏛️, dans les peintures de Léonard de Vinci, dans les spirales de coquillages ou même dans les proportions des tournesols.

Mais derrière ce mythe « esthétique », il y a surtout des mathématiques… (quand on vous dit qu’on les retrouve partout !)

Problématique : Comment le nombre d’or relie-t-il algèbre, suites et géométrie, et pourquoi apparaît-il si souvent dans la nature et les constructions humaines ?

I. Définition et propriétés algébriques

1. Équation du nombre d’or

Le nombre d’or apparaît d’abord dans un problème de proportion. On cherche un rapport [math]\varphi[/math] tel que, pour un segment coupé en deux parties [math]a[/math] et [math]b[/math], la proportion soit la même à deux niveaux :

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}

Autrement dit, le rapport entre le tout et la grande partie est égal au rapport entre la grande et la petite partie.

Si l’on note [math]\varphi = \frac{a}{b}[/math], cette équation devient :

\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}

En multipliant les deux côtés par [math]\varphi[/math], on obtient une équation quadratique :

\varphi^2 = \varphi + 1

C’est une équation du second degré, que l’on peut résoudre avec la formule classique :

\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Comme [math]\varphi[/math] est un rapport de longueurs positif, on garde la racine positive :

\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618

2. Propriétés remarquables

Le nombre d’or a des propriétés étonnantes, faciles à démontrer :

Son inverse est très simple :

\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0,618.

Autrement dit, [math]\varphi[/math] et son inverse ne diffèrent que d’une unité.

Identité avec Fibonacci :

\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1},

où [math]F_n[/math] désigne le n-ième terme de la suite de Fibonacci ([math]1,1,2,3,5,8,13,\dots[/math]).

Cette identité relie directement un nombre « géométrique » (le nombre d’or) à une suite « arithmétique ».

Par exemple, calculons [math]\varphi^3[/math]. Comme [math]\varphi^2 = \varphi + 1[/math], on a :

\varphi^3 = \varphi \cdot \varphi^2 = \varphi (\varphi+1) = \varphi^2 + \varphi = 2\varphi + 1 \approx 4,236.

II. Suites et convergence vers le nombre d’or

1. Suite de Fibonacci

Comme nous venons de le voir, le nombre d’or a un lien direct avec la célèbre suite de Fibonacci (suite qu’on ne présente plus normalement, à connaître).

La suite est définie par récurrence :

u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n+2} = u_{n+1} + u_n

Autrement dit, chaque terme est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Si l’on calcule le rapport [math]\tfrac{u_{n+1}}{u_n}[/math] :

• [math]\tfrac{3}{2} = 1,5[/math]
• [math]\tfrac{5}{3} \approx 1,66[/math]
• [math]\tfrac{21}{13} \approx 1,615[/math]

On constate que ces quotients se rapprochent progressivement du nombre d’or [math]\varphi \approx 1,618[/math].