Pourquoi les bulles de savon sont elles sphériques ?

Introduction

Quand on souffle dans un anneau trempé de savon, une bulle apparaît… et elle est presque toujours sphérique. Pourtant, on pourrait imaginer des bulles cubiques, pyramidales…

Ce phénomène cache en fait des mathématiques (comme toujours 🙂)

I. L’inégalité isopérimétrique

Une bulle de savon est un mince film d’eau maintenu par une couche de molécules de savon (cf. schéma ci-dessous).

Mais pourquoi est-elle toujours sphérique (ou presque) ?

Tout commence avec une idée mathématique ancienne : l’inégalité isopérimétrique. Elle cherche à répondre à la question suivante : quelle est la plus grande surface qu’on peut délimiter à partir d’un périmètre donné ?

1. Anecdote historique

Didon était une princesse phénicienne. Son frère, le roi Pygmalion, tua son mari pour s’emparer de ses richesses. Elle décida alors de fuir par la mer ⛵. En arrivant en Afrique, Didon demanda au roi Jarbas de Numidie de lui vendre un terrain pour s’installer avec son peuple.

Jarbas accepta, mais de manière mesquine : il lui proposa seulement autant de terre qu’elle pourrait entourer avec une peau de bœuf. Didon eut alors une idée ingénieuse 😏 : elle fit découper la peau en fines lanières, les attacha bout à bout pour former une longue corde, puis l’étendit au sol en cercle.

De cette façon, elle réussit à enfermer la plus grande surface possible avec un périmètre donné. C’est le fameux problème isopérimétrique : parmi toutes les courbes fermées de même longueur, c’est le cercle qui enferme la plus grande aire.

Grâce à cette ruse, Didon obtint un vaste terrain, où elle fonda la ville de Carthage.

Justement, la petite histoire que l’on vient de raconter illustre l’inégalité isopérimétrique (dans un contexte à 2 dimensions pour être plus précis).

Pour le Grand Oral, je trouve que cela peut être une bonne idée de démarrer avec une petite histoire, comme celle-ci. Cela permet de capter l’attention du jury dès le début et de rendre l’exposé plus vivant.

2. Cas concrets: dimensions 2 et 3

En dimension 2, on a l’inégalité suivante :

S \leq \frac{P^2}{4\pi}

où [math] S [/math] est l’aire et [math] P [/math] le périmètre.

C’est une inégalité qui est toujours vraie, donc si on fixe la valeur du périmètre, on a une majoration de l’aire, et si on fixe l’aire on a une minoration du périmètre.

Pour un disque de rayon [math] R [/math], on a [math] S = \pi R^2 [/math] et [math] P = 2\pi R [/math], donc si l’on remplace ces valeurs dans l’inégalité précédente, on voit bien que cela devient une égalité puisque : [math] \pi R^2 = \frac{(2\pi R)^2}{4\pi} [/math].

L’inégalité devient une égalité. On dit que le disque est optimal (concrètement cela veut dire que le disque représente le meilleur cas possible), comme on l’a vu avec l’histoire de Didon.

En dimension 3, l’inégalité devient :

V^2 \leq \frac{S^3}{36\pi}

où [math] V [/math] est le volume et [math] S [/math] la surface.

Pour une sphère de rayon [math] R [/math] : [math] V = \frac{4}{3}\pi R^3, S = 4\pi R^2 [/math]. On obtient de nouveau une égalité. Autrement dit, la sphère est la forme optimale : toute autre surface de même aire contient un volume plus petit.

II. Minimiser la surface, une question d’énergie

1. Pourquoi les molécules de surface coûtent plus d’énergie ?

Imaginons une goutte d’eau : les molécules à l’intérieur sont attirées dans toutes les directions → les forces s’équilibrent. Mais celles qui sont à la surface n’ont pas de voisines vers l’extérieur : elles sont donc attirées vers l’intérieur seulement.

On appelle cela la tension superficielle.