Cryptomonnaies : l’exemple du Bitcoin

Introduction

Le Bitcoin est la première cryptomonnaie, créée en 2009, et il fascine autant qu’il intrigue. Contrairement à une monnaie classique émise par une banque centrale, sa création repose sur un protocole mathématique précis, qui garantit une rareté programmée : au maximum 21 millions de bitcoins seront créés, et pas un de plus.

Ce mécanisme pose une question intéressante de mathématiques : comment modéliser la quantité de bitcoins en circulation au fil du temps ?

I. Le mécanisme d’émission du Bitcoin

1. Création par cycles de 4 ans (les « halvings »)

Le Bitcoin (2009, Satoshi Nakamoto) émet de nouvelles unités en rémunérant les mineurs qui valident des blocs. Cette récompense par bloc est divisée par 2 tous les 210 000 blocs (≈ 4 ans) : on parle de halving.

Au départ, la récompense valait 50 BTC par bloc, puis 25, 12.5, 6.25, etc. (on divise par 2 à chaque cycle).

Comme il y a [math]210000[/math] blocs par cycle, la quantité créée à chaque cycle suit une suite géométrique :

• Cycle 1 (2009–2012) : [math]210000 \times 50 = 10500000[/math] BTC [math]= 10.5[/math] millions
• Cycle 2 (2012–2016) : [math]210000 \times 25 = 5250000[/math] BTC [math]= 5.25[/math] millions
• Cycle 3 (2016–2020) : [math]210000 \times 12.5 = 2625000[/math] BTC [math]= 2.625[/math] millions
• etc. (à chaque cycle on divise par 2)

Visuellement, c’est une « exponentielle inversée » : on ajoute d’abord beaucoup, puis deux fois moins, puis encore deux fois moins… On se rapproche d’une limite.

2. Modélisation par une suite et somme télescopique

Notons :

• [math]u_n[/math] : total de bitcoins créés après [math]n[/math] cycles (en millions de BTC),
• [math]v_n = u_{n+1}-u_n[/math] : création pendant le cycle [math]n[/math] (en millions).

Avec notre comptage, on a :

• [math]u_0 = 0[/math] (avant tout début, total créé nul),
• [math]v_0 = 10.5,\ v_1 = 5.25,\ v_2 = 2.625,\ \dots[/math]
  donc [math]v_n = \dfrac{21}{2^{n+1}}[/math] (en millions), car [math]10.5 = \dfrac{21}{2}[/math], [math]5.25 = \dfrac{21}{4}[/math], etc.

Comme [math]u_n[/math] est la somme des créations jusqu’au cycle [math]n-1[/math], on écrit la somme télescopique standard :

\underbrace{(u_1 - u_0)}_{v_0} + \underbrace{(u_2 - u_1)}_{v_1} + \cdots + \underbrace{(u_n - u_{n-1})}_{v_{n-1}} = u_n - u_0 = u_n

Donc

u_n = \sum_{k=0}^{n-1} v_k = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{21}{2^{k+1}} = 21 \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}

Or

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}
= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)
= 1 - \frac{1}{2^{n}}.

Ainsi, on obtient la formule fermée (en millions de BTC) :

u_n = 21\left(1 - \frac{1}{2^{n}}\right).

Vérifications rapides :

• [math]u_1 = 21(1-\tfrac{1}{2})=10.5[/math] (ok),
• [math]u_2 = 21(1-\tfrac{1}{4})=15.75[/math] (10.5 + 5.25),
• [math]u_3 = 21(1-\tfrac{1}{8})=18.375[/math] (15.75 + 2.625), etc.

Après [math]n[/math] cycles, on a déjà créé une part [math]1 – \tfrac{1}{2^n}[/math] de la limite [math]21[/math] (millions). Chaque cycle ajoute [math]v_n = \dfrac{21}{2^{n+1}}[/math] (millions), c’est-à-dire deux fois moins que le précédent.

II. Limite et asymptote des 21 millions

1. Calcul de la limite de la suite

On rappelle que la suite du nombre total de bitcoins créés après [math]n[/math] cycles de 4 ans est donnée par :

u_n = 21\left(1-\tfrac{1}{2^n}\right).

Quand [math]n \to \infty[/math], le terme [math]\tfrac{1}{2^n}[/math] tend vers 0.

Donc :

\lim_{n\to\infty} u_n = 21(1-0) = 21.

➡ Cela signifie que le protocole du Bitcoin impose une borne supérieure de 21 millions.