En quoi les logarithmes sont utiles dans la vie réelle ?

Introduction

Qu’il s’agisse de mesurer la puissance d’un séisme, le bruit d’un avion, la croissance d’une population ou encore l’efficacité d’un algorithme, les logarithmes sont un outil indispensable. Ils permettent de traduire en langage mathématique des phénomènes qui évoluent de façon exponentielle.

Problématique : en quoi les logarithmes sont-ils utiles dans la vie réelle ?

I. Les logarithmes pour mesurer des phénomènes « exponentiels »

1. Échelle des intensités sonores

Quand on parle de son, on utilise souvent les décibels plutôt que l’intensité brute. En effet, l’oreille humaine ne perçoit pas les sons de façon linéaire : si on multiplie l’intensité par 10, on n’a pas l’impression que le bruit est « 10 fois plus fort ».

Pour traduire cette perception, on utilise une échelle logarithmique :

L = 10 \log_{10}\left(\tfrac{I}{I_0}\right)

où :

• [math]L[/math] est le niveau sonore en décibels,
• [math]I[/math] l’intensité du son,
• [math]I_0[/math] une intensité de référence (seuil d’audition).

Par exemple :

• Une conversation normale correspond à environ 60 dB.
• Un avion au décollage atteint environ 120 dB.

On remarque que le bruit de l’avion paraît beaucoup plus fort, alors que l’intensité réelle est un million de fois plus élevée que celle de la conversation. Sans l’échelle logarithmique, on ne pourrait pas manipuler de tels écarts de grandeur !

2. Magnitude des séismes

Les tremblements de terre sont mesurés avec l’échelle de Richter, qui est elle aussi logarithmique.

La magnitude [math]M[/math] d’un séisme est donnée par :

M = \log_{10}\left(\tfrac{A}{A_0}\right)

où :

• [math]A[/math] est l’amplitude mesurée,
• [math]A_0[/math] une amplitude de référence.

Conséquence directe :

• Quand la magnitude augmente d’une unité, l’amplitude des secousses est multipliée par 10.
• Entre magnitude 6 et magnitude 8, l’amplitude est donc multipliée par [math]10^2 = 100[/math].

Cela explique pourquoi deux séismes qui semblent « proches » dans leur valeur peuvent avoir des conséquences radicalement différentes.

II. Les logarithmes pour résoudre des équations et modéliser des croissances

1. Temps de doublement en économie et en démographie

Beaucoup de phénomènes réels suivent une croissance exponentielle. On peut modéliser une population ou un capital avec :

N(t) = N_0 e^{rt}

où :

• [math]N_0[/math] est la valeur initiale,
• [math]r[/math] est le taux de croissance,
• [math]t[/math] le temps.

Une question pratique est de savoir au bout de combien de temps la population double. On cherche donc [math]T[/math] tel que :

N(T) = 2 N_0.

En remplaçant :

N_0 e^{rT} = 2 N_0 \quad \Rightarrow \quad e^{rT} = 2 \quad \Rightarrow \quad T = \tfrac{\ln 2}{r}.

Exemple concret :

Si une population croît de 2 % par an, alors [math]r=0,02[/math].

On obtient :

T = \tfrac{\ln 2}{0,02} \approx 34,7 \text{ ans}.

Donc la population double en environ 35 ans.