Football et probabilités : le tir du pénalty

Introduction

Quand un joueur s’avance pour tirer un penalty, tout peut basculer en quelques secondes. Le gardien doit plonger du bon côté, le joueur doit garder son sang-froid… et souvent, ça se joue à la chance. Mais est-ce vraiment du hasard ? Et si les probabilités pouvaient aider un footballeur à améliorer ses chances de marquer ?

I. Le penalty, un problème de probabilité

1. Modéliser le penalty en termes de probabilités

Un penalty peut être vu comme une expérience aléatoire à deux issues possibles :

• le joueur marque (succès),
• le joueur rate (échec).

C’est exactement le modèle d’une épreuve de Bernoulli.

Si on note :

• [math]p[/math] la probabilité de succès,
• [math]1-p[/math] la probabilité d’échec,

alors la variable aléatoire [math]X[/math] qui vaut 1 si le but est marqué et 0 sinon suit une loi de Bernoulli :

\mathbb{P}(X=1) = p, \quad \mathbb{P}(X=0) = 1-p.

D’après une étude du Monde sur 311 penaltys, environ 94 % des tirs sont cadrés, c’est-à-dire envoyés dans le but.

On peut donc modéliser le cadrage comme une épreuve de Bernoulli de paramètre [math]p = 0{,}94[/math].

Si on répète [math]n[/math] penaltys, alors le nombre de tirs cadrés suit une loi binomiale :

X \sim \mathcal{B}(n, 0{,}94).

Par exemple, si [math]n=10[/math], l’espérance est :

\mathbb{E}[X] = n \times p = 10 \times 0{,}94 = 9{,}4.

Ainsi, en moyenne, un joueur cadre 9 tirs sur 10.

2. La répartition des tirs et leur efficacité

Toujours d’après l’étude, la répartition des tirs est la suivante :

• 57 % des tirs sont effectués vers le bas,
• 30 % vers le centre,
• 13 % vers le haut.

Mais paradoxalement, l’efficacité n’est pas la même :

• en bas : environ 80 % de buts,
• au centre : 87 % de buts,
• en haut (lucarnes) : 100 % de buts.

On peut donc définir une nouvelle variable aléatoire [math]Y[/math] = « le tir est marqué », avec une probabilité de succès qui dépend de la zone choisie.

Exemple :

• si un joueur tire au hasard en bas (proba 0,57) avec 80 % de réussite, la contribution au taux global est [math]0,57 \times 0,80 = 0,456[/math],
• au centre : [math]0,30 \times 0,87 = 0,261[/math],
• en haut : [math]0,13 \times 1 = 0,13[/math].

En additionnant, la probabilité totale de marquer un penalty est :

p = 0,456 + 0,261 + 0,13 = 0,847 \approx 85\%.

On voit donc que même si tirer en haut est le plus efficace, les joueurs choisissent souvent le bas… là où les gardiens arrêtent le plus de tirs.

II. Les stratégies : entre probabilités et théorie des jeux

1. Le point de vue du tireur

Si un joueur tire toujours au même endroit, il devient rapidement prévisible pour le gardien.
Le rôle des probabilités est donc de l’aider à brouiller les pistes.

Une idée est d’adopter une stratégie mixte :

• par exemple, tirer 70 % du temps à gauche et 30 % du temps à droite.
• si le gardien choisit au hasard, ses chances d’arrêter chutent car il ne peut pas « lire » le joueur.

Mathématiquement, on peut modéliser le tir comme une variable aléatoire :

T = \begin{cases}
\text{Gauche} & \text{avec probabilité } p \\
\text{Droite} & \text{avec probabilité } 1-p
\end{cases}

L’important est que [math]p[/math] ne soit pas trop proche de 0 ou 1, sinon le joueur redevient prévisible.

Les probabilités permettent donc au tireur d’introduire de l’aléatoire contrôlé dans son choix.