Le dilemme du prisonnier

Introduction

On pense souvent que les mathématiques ne servent qu’à faire des calculs, mais elles permettent aussi d’analyser nos choix et nos comportements (#théorie des jeux). Le dilemme du prisonnier est un exemple célèbre : il montre que ce qui paraît rationnel individuellement peut conduire à un mauvais résultat collectif.

Ce problème n’est pas seulement une curiosité : il s’applique à des situations réelles comme la concurrence entre entreprises, la coopération entre États ou même nos relations quotidiennes. C’est ce qui le rend super intéressant à explorer.

I. Le dilemme du prisonnier : un problème de probabilité et de stratégie

1. Modèle mathématique du dilemme

Imaginons deux prisonniers (A et B) arrêtés ensemble. La police les interroge séparément et leur propose le marché suivant :

• Si les deux se taisent (coopèrent) → chacun prend une peine réduite.
• Si l’un dénonce (trahit) pendant que l’autre se tait → le traître est libéré, l’autre prend la peine maximale.
• Si les deux dénoncent → ils sont tous les deux condamnés à une peine assez lourde, mais moins que la peine maximale.

On peut traduire ce scénario par un tableau de gains.

On note les résultats sous la forme (peine de A ; peine de B), en nombre d’années de prison :

On retrouve le schéma classique :

• (C,C) : chacun prend 2 ans → c’est la coopération mutuelle (meilleur résultat collectif).
• (T,C) : le traître est libéré (0 an), l’autre prend 10 ans → tentation de trahir.
• (T,T) : chacun prend 5 ans → résultat sûr mais pire que s’ils avaient coopéré.

Ici, la logique individuelle pousse chacun à trahir, car c’est toujours la meilleure option personnelle… même si collectivement, coopérer aurait été meilleur.

Regardons le raisonnement pour A :

• Si B coopère (se tait) :
  • A prend 2 ans en coopérant.
  • A prend 0 an en trahissant.
    => A préfère trahir.
• Si B trahit (dénonce) :
  • A prend 10 ans en coopérant.
  • A prend 5 ans en trahissant.
    => A préfère encore trahir.

Donc, quelle que soit la décision de B, A trahit toujours.

Par symétrie, B raisonne de la même façon et trahit lui aussi.

Le couple (T,T) est donc l’équilibre de Nash : chacun agit «rationnellement» pour lui-même, mais le résultat collectif (5 ans chacun) est moins bon que s’ils avaient coopéré (2 ans chacun).

C’est tout le paradoxe du dilemme du prisonnier : la logique individuelle mène à un mauvais résultat collectif.

2. Exemples concrets d’application

a. Entreprises (entente ou concurrence sur les prix)

Deux entreprises peuvent :

• Coopérer (C) → maintenir des prix élevés (entente tacite).
• Tromper (T) → baisser agressivement ses prix pour capter le marché.

Résultats :

• [math]C,C[/math] → marges correctes pour les deux ([math]3;3[/math]).
• [math]T,C[/math] → l’entreprise qui baisse ses prix prend tout le marché ([math]5;0[/math]).
• [math]T,T[/math] → guerre des prix, marges très faibles ([math]1;1[/math]).

La tentation individuelle pousse vers ([math]T,T[/math]), alors que ([math]C,C[/math]) serait meilleur pour tous.

b. Politique internationale (climat, armement)

Deux États doivent décider de réduire leurs émissions :

• [math]C,C[/math] → bénéfice climatique commun ([math]3;3[/math]).
• [math]T,C[/math] → l’État qui ne fait rien profite du sacrifice de l’autre ([math]5;0[/math]).
• [math]T,T[/math] → inaction générale, la situation s’aggrave ([math]1;1[/math]).

Résultat : chacun a intérêt à laisser l’autre faire l’effort… ce qui bloque souvent l’action collective.

c. Écosystèmes (coopération vs triche)

Dans la nature, certaines espèces coopèrent (pollinisateurs/plantes, nettoyeurs/poissons). Mais d’autres peuvent «tricher» : profiter sans contribuer.

• Tant que la coopération domine → le système est stable et prospère.
• Si la triche se généralise → tout le système s’effondre (analogue à [math]T,T[/math]).

II. Le dilemme itéré : stratégies et résultats

1. Jouer plusieurs fois change tout

Dans le dilemme du prisonnier « simple » (vu en I), chaque joueur prend sa décision une seule fois : coopérer (C) ou trahir (T).

Mais si le jeu est répété plusieurs fois entre les mêmes joueurs, la situation change complètement.

• Si un joueur trahit aujourd’hui, l’autre peut le punir au prochain tour.
• Inversement, si les deux coopèrent, ils peuvent construire une relation de confiance sur le long terme.

On appelle cela le dilemme du prisonnier itéré.