Peut-on éviter les embouteillages grâce aux mathématiques ?

Introduction

Chaque matin ou chaque soir, des millions d’automobilistes se retrouvent coincés dans les embouteillages. Perte de temps, pollution, stress… c’est un vrai fléau. Pourtant, ce phénomène ne dépend pas seulement du hasard ou de la malchance : il obéit à des lois mathématiques.

En effet, derrière un simple ralentissement se cachent des notions de densité, de flux, de probabilités et même d’optimisation. Mieux encore, les mathématiques permettent de comprendre pourquoi certains bouchons apparaissent « sans raison », de modéliser la circulation comme un système, et d’imaginer des solutions pour les fluidifier.

La question est donc la suivante : peut-on éviter les embouteillages grâce aux mathématiques ?

Avant d’attaquer le sujet, voici une petite vidéo à visionner 🙂

I. Comprendre les embouteillages avec les maths du quotidien

1. Un problème de flux : densité et débit

Pour étudier la circulation, on peut la voir comme un « flux » de voitures, un peu comme l’eau qui s’écoule dans un tuyau.

Deux grandeurs mathématiques sont utiles :

• La densité de circulation : [math] \rho = \tfrac{N}{L} [/math].
  C’est le nombre de voitures [math]N[/math] présentes sur une portion de route de longueur [math]L[/math]. On l’exprime en voitures par kilomètre.
• Le débit de circulation : [math] q = \rho \cdot v [/math].
  C’est le nombre de voitures qui passent en un point de la route par unité de temps. Il dépend à la fois de la densité [math]\rho[/math] et de la vitesse moyenne [math]v[/math].

Exemple :

Si on a [math]\rho = 20[/math] voitures/km sur une autoroute, et que la vitesse moyenne est [math]v = 100[/math] km/h, alors le débit est : [math] q = 20 \times 100 = 2000 \text{ voitures/heure} [/math].

2. Les embouteillages « fantômes » : suites et propagation

Le plus étonnant, c’est qu’un embouteillage peut apparaître sans accident ni obstacle : ce sont les « bouchons fantômes ».

Imagine une file de voitures roulant à 100 km/h. Si une voiture freine légèrement, celle qui la suit freine un peu plus, puis la suivante encore davantage. Ce petit ralentissement se propage comme une onde vers l’arrière, et au bout de quelques dizaines de véhicules, cela peut donner un arrêt complet du trafic.

Mathématiquement, on peut modéliser cela avec une suite :

v_{n+1} = v_n - \delta

où [math]v_n[/math] est la vitesse de la voiture numéro [math]n[/math] dans la file, et [math]\delta[/math] la petite perte de vitesse transmise à chaque fois.

Exemple :

• La 1ʳᵉ voiture ralentit de 2 km/h → [math]v_1 = 98[/math].
• La 2ᵉ voiture ralentit de 2 km/h supplémentaires → [math]v_2 = 96[/math].
• La 3ᵉ descend à 94 km/h…

Au bout de 10 voitures, la perte atteint 20 km/h → [math]v_{10} = 80[/math].

Et si la file est longue, on finit par créer un vrai bouchon alors qu’il n’y avait aucun obstacle au départ.

II. Quand les mathématiques cherchent à optimiser la circulation

1. La courbe fondamentale et les dérivées

On rappelle :

• [math]\rho[/math] = densité (voitures par km, sur une voie).
• [math]v(\rho)[/math] = vitesse moyenne quand la densité vaut [math]\rho[/math].
• [math]q(\rho)=\rho\cdot v(\rho)[/math] = débit (voitures qui passent par heure).

Dans la pratique, plus il y a de voitures, plus la vitesse moyenne baisse. Un modèle simple (et très utilisé pour raisonner) est linéaire :

v(\rho)=v_{\text{max}}\Big(1-\frac{\rho}{\rho_{\text{max}}}\Big),\quad 0\le \rho \le \rho_{\text{max}}.

Alors :

q(\rho)=\rho,v(\rho)=v_{\text{max}}\Big(\rho-\frac{\rho^2}{\rho_{\text{max}}}\Big).

Cette fonction a une forme en cloche. Cherchons son maximum (route à sa capacité optimale).

On dérive :

q'(\rho)=v_{\text{max}}\Big(1-\frac{2\rho}{\rho_{\text{max}}}\Big).

Le point critique vérifie [math]q'(\rho^*)=0 \Rightarrow \rho^*=\frac{\rho_{\text{max}}}{2}[/math].

Et [math]q^{(2)}(\rho)=-\frac{2v_{\text{max}}}{\rho_{\text{max}}}<0[/math] donc c’est bien un maximum.

Sa valeur :

q_{\text{max}}=q(\rho^*)=v_{\text{max}}\cdot\frac{\rho_{\text{max}}}{4}.