L’histoire du zéro en mathématiques

Introduction

Aujourd’hui, le zéro nous paraît évident : on l’utilise tous les jours dans les calculs, dans l’écriture des nombres… Pourtant, son invention a été une véritable révolution mathématique.

I. Aux origines du zéro

1. Des «manques» aux premières notations

L’idée du zéro ne s’est pas imposée immédiatement. Les Babyloniens, dès le IIIe siècle avant notre ère, utilisaient un système sexagésimal (base 60) et avaient besoin de marquer l’«absence» d’une valeur. Ils inséraient alors un espace ou un symbole pour signifier ce manque, mais ce n’était pas encore un vrai nombre : seulement un repère dans l’écriture.

C’est en Inde, au Ve siècle, que le zéro devient un véritable chiffre et même un nombre. Le mathématicien Brahmagupta, en 628, définit explicitement des règles de calcul avec zéro : il reconnaît son rôle central dans les opérations (addition, soustraction, multiplication).

2. Zéro comme chiffre de position

Avant l’invention du zéro, les systèmes comme les chiffres romains (XXVII, CCLXII, …) étaient longs et compliqués pour les calculs. Le passage au système décimal positionnel, avec le zéro comme symbole de «remplissage», a totalement simplifié les écritures et les opérations.

Exemple concret :

• En chiffres romains, calculer CCVII + LIII demande des manipulations fastidieuses.
• Avec le zéro, on écrit 207 + 53 = 260 de manière claire et rapide.

Ainsi, le zéro n’est pas qu’un simple chiffre : c’est l’élément qui rend possible toute la mécanique du système décimal, base de notre numération actuelle.

II. Le zéro comme nombre : propriétés et règles de calcul

1. Les règles données par Brahmagupta

En 628, le mathématicien indien Brahmagupta a posé les premières règles de calculs avec zéro. Certaines sont encore valables aujourd’hui :

• [math]a + 0 = a[/math]
• [math]a – 0 = a[/math]
• [math]a \times 0 = 0[/math]

Zéro est donc neutre pour l’addition, et absorbe dans la multiplication.

Problème majeur : la division par zéro.

Brahmagupta écrivait [math]\tfrac{a}{0} = \tfrac{a}{0}[/math], ce qui n’apporte aucune explication claire.

Exemple : Si on suppose que [math]\tfrac{a}{0} = k[/math], alors [math]a = k \times 0 = 0[/math].
Contradiction : si [math]a \neq 0[/math], il est impossible de trouver un tel [math]k[/math].
Donc la division par zéro n’a pas de sens dans les nombres réels.

2. Zéro et symétrie des entiers

Sur une droite graduée, zéro est le point central qui sépare les nombres positifs et négatifs. Il est le repère d’origine.

C’est aussi en travaillant avec zéro qu’apparaissent naturellement les entiers négatifs.

III. Prolongements mathématiques modernes

1. Zéro et analyse mathématique

Avec le développement de l’analyse, le zéro est devenu un outil central.

• Notion de limite :
  Un exemple fondamental est : [math]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/math].
  Même si on ne peut pas remplacer directement [math]x=0[/math] (division interdite), l’étude des limites permet de donner un sens à des expressions «indéterminées» proches de zéro.
• Zéros d’une fonction :
  On appelle zéro d’une fonction toute valeur de [math]x[/math] telle que [math]f(x)=0[/math].
  Exemple : pour [math]f(x) = x^2 – 4[/math], on résout [math]x^2 – 4 = 0[/math] et on trouve deux zéros : [math]x = -2[/math] et [math]x = 2[/math].
  Cette notion est au cœur de nombreux domaines (équations polynomiales, recherche d’optimums, etc.).

2. Zéro en informatique et logique binaire

Dans l’informatique moderne, tout repose sur le système binaire, qui n’utilise que deux chiffres : [math]0[/math] et [math]1[/math].

• En binaire, le nombre [math]13[/math] s’écrit :
  [math]13 = 1101_2[/math] (car [math]13 = 1\times 2^3 + 1\times 2^2 + 0\times 2^1 + 1\times 2^0[/math]).
• Le 0 joue aussi le rôle d’état logique :
  0 = courant «éteint», 1 = courant «allumé».
  Ces deux états suffisent à construire toute l’informatique moderne : additionneurs, mémoires, processeurs.

Conclusion

Le zéro, au départ simple symbole d’absence, est devenu l’un des piliers des mathématiques modernes et de l’informatique.

On espère que ce sujet vous aidera, et que vous saurez l’exploiter au mieux pour briller à votre épreuve !