Football et probabilités : le tir du pénalty
Introduction
Quand un joueur s’avance pour tirer un penalty, tout peut basculer en quelques secondes. Le gardien doit plonger du bon côté, le joueur doit garder son sang-froid… et souvent, ça se joue à la chance. Mais est-ce vraiment du hasard ? Et si les probabilités pouvaient aider un footballeur à améliorer ses chances de marquer ?
I. Le penalty, un problème de probabilité
1. Modéliser le penalty en termes de probabilités
Un penalty peut être vu comme une expérience aléatoire à deux issues possibles :
- le joueur marque (succès),
- le joueur rate (échec).
C’est exactement le modèle d’une épreuve de Bernoulli.
Si on note :
- [math]p[/math] la probabilité de succès,
- [math]1-p[/math] la probabilité d’échec,
alors la variable aléatoire [math]X[/math] qui vaut 1 si le but est marqué et 0 sinon suit une loi de Bernoulli :
\mathbb{P}(X=1) = p, \quad \mathbb{P}(X=0) = 1-p.D’après une étude du Monde sur 311 penaltys, environ 94 % des tirs sont cadrés, c’est-à-dire envoyés dans le but.
On peut donc modéliser le cadrage comme une épreuve de Bernoulli de paramètre [math]p = 0{,}94[/math].
Si on répète [math]n[/math] penaltys, alors le nombre de tirs cadrés suit une loi binomiale :
X \sim \mathcal{B}(n, 0{,}94).Par exemple, si [math]n=10[/math], l’espérance est :
\mathbb{E}[X] = n \times p = 10 \times 0{,}94 = 9{,}4.Ainsi, en moyenne, un joueur cadre 9 tirs sur 10.
2. La répartition des tirs et leur efficacité
Toujours d’après l’étude, la répartition des tirs est la suivante :
- 57 % des tirs sont effectués vers le bas,
- 30 % vers le centre,
- 13 % vers le haut.
Mais paradoxalement, l’efficacité n’est pas la même :
- en bas : environ 80 % de buts,
- au centre : 87 % de buts,
- en haut (lucarnes) : 100 % de buts.
On peut donc définir une nouvelle variable aléatoire [math]Y[/math] = « le tir est marqué », avec une probabilité de succès qui dépend de la zone choisie.
Exemple :
- si un joueur tire au hasard en bas (proba 0,57) avec 80 % de réussite, la contribution au taux global est [math]0,57 \times 0,80 = 0,456[/math],
- au centre : [math]0,30 \times 0,87 = 0,261[/math],
- en haut : [math]0,13 \times 1 = 0,13[/math].
En additionnant, la probabilité totale de marquer un penalty est :
p = 0,456 + 0,261 + 0,13 = 0,847 \approx 85\%.
On voit donc que même si tirer en haut est le plus efficace, les joueurs choisissent souvent le bas… là où les gardiens arrêtent le plus de tirs.
II. Les stratégies : entre probabilités et théorie des jeux
1. Le point de vue du tireur
Si un joueur tire toujours au même endroit, il devient rapidement prévisible pour le gardien.
Le rôle des probabilités est donc de l’aider à brouiller les pistes.
Une idée est d’adopter une stratégie mixte :
- par exemple, tirer 70 % du temps à gauche et 30 % du temps à droite.
- si le gardien choisit au hasard, ses chances d’arrêter chutent car il ne peut pas « lire » le joueur.
Mathématiquement, on peut modéliser le tir comme une variable aléatoire :
T = \begin{cases}
\text{Gauche} & \text{avec probabilité } p \\
\text{Droite} & \text{avec probabilité } 1-p
\end{cases}L’important est que [math]p[/math] ne soit pas trop proche de 0 ou 1, sinon le joueur redevient prévisible.
Les probabilités permettent donc au tireur d’introduire de l’aléatoire contrôlé dans son choix.
2. Le point de vue du gardien
Une étude statistique a montré que les gardiens plongent :
- 50 % du temps à droite,
- 44 % du temps à gauche,
- seulement 6 % du temps au centre.
Cela suggère que tirer au centre peut donner un meilleur rendement, puisque le gardien y reste rarement.
On peut représenter la situation par une matrice de gains simplifiée :
| Tireur / Gardien | Gauche | Droite | Centre |
|---|---|---|---|
| Gauche | 0,2 | 0,9 | 0,9 |
| Droite | 0,9 | 0,2 | 0,9 |
| Centre | 0,94 | 0,94 | 0,0 |
(les chiffres sont des exemples de probabilités de marquer selon la combinaison des choix).
Ici, on voit que :
- si le tireur choisit toujours la même option, le gardien s’adapte et réduit fortement ses chances.
- mais si chacun varie ses choix selon certaines probabilités, il existe un équilibre : c’est ce qu’on appelle un équilibre de Nash en théorie des jeux.
Le gardien doit donc aussi utiliser les probabilités pour répartir ses plongeons et éviter d’être anticipé.
III. Limites des probabilités : la réalité du terrain
1. Facteurs techniques et psychologiques
Sur le papier, les probabilités donnent une réponse simple : viser la lucarne maximise la réussite (100 % de buts selon l’étude).
Mais dans la réalité :
- Précision technique : placer un ballon en lucarne exige une grande maîtrise. L’intervalle de réussite est très petit, et un écart d’à peine quelques degrés peut envoyer le ballon au-dessus du cadre.
Exemple : si la probabilité de cadrer en visant en haut est seulement de [math]p = 0{,}7[/math], même si la probabilité conditionnelle de marquer une fois cadré est 100 %, la probabilité totale de marquer devient [math]0{,}7 \times 1 = 0{,}7[/math]. - Pression psychologique : beaucoup de joueurs préfèrent assurer un tir cadré mais arrêtable, plutôt que de risquer un tir hors du cadre. Être arrêté par le gardien est perçu comme « normal », mais tirer au-dessus peut être vu comme une faute impardonnable.
- Stress et enjeu : en finale, avec des millions de spectateurs, la théorie des probabilités ne suffit pas à gérer le mental.
Conclusion : les maths ne captent pas la peur, la fatigue ou l’émotion.
2. Enseignements
Les probabilités permettent de dégager une stratégie rationnelle :
- viser plus souvent en haut ou au centre,
- introduire de l’aléatoire dans ses choix pour brouiller le gardien.
Mais elles ne garantissent pas le succès :
- un joueur mal préparé techniquement ou mentalement pourra échouer, même avec la meilleure stratégie.
- l’entraînement et la psychologie restent des facteurs décisifs.
Les probabilités aident donc à s’améliorer et à mieux comprendre le penalty, mais elles ne remplacent ni la technique du tir ni la gestion du mental.
Conclusion
Les probabilités peuvent aider un footballeur à mieux tirer ses penaltys, en choisissant une stratégie plus rationnelle et moins prévisible. Mais au final, il reste toujours une part de technique, de mental et… un peu de hasard. C’est ce mélange qui fait toute la beauté du football.
On espère que ce sujet vous aidera, et que vous saurez l’exploiter au mieux pour briller à votre épreuve !
