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Grand Oral Maths

Comment les mathématiques peuvent aider dans le traitement des cancers ?

Introduction

A. Définition du cancer et de son importance en santé publique

Bienvenue à tous pour ce grand oral sur un sujet crucial : « Le rôle des mathématiques dans le traitement des cancers ». Avant de plonger dans les détails, laissez-moi vous expliquer ce qu’est le cancer. Si l’on consulte un dictionnaire, on peut y lire que c’est une «maladie provoquée par la transformation de cellules qui deviennent anormales et prolifèrent de façon excessive».

 
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Mais qu’est ce que cela veut bien dire 🤔

Imaginez votre corps comme une ville, avec ses cellules qui jouent des rôles spécifiques, comme les habitants de cette ville. Maintenant, le cancer survient lorsqu’un groupe de cellules « délinquantes » commence à se multiplier de manière incontrôlée, perturbant ainsi l’ordre de la ville et mettant en péril la sécurité de l’ensemble de la ville. Vous comprenez maintenant pourquoi le cancer est une préoccupation majeure en santé publique ! (Notre sujet est de grand oral est donc plutôt pertinent.. hehe)

 
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Si vous n’avez rien compris à ce que je veux de raconter, retenez juste que si notre corps est une ville, les cellules cancéreuses représentent tous les méchants 😈

B. Importance de la recherche de solutions efficaces

Face à cette menace grave, la recherche de solutions efficaces est vitale. Chaque avancée dans le domaine du traitement du cancer peut potentiellement sauver des vies et améliorer la qualité de vie des patients.

 
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Retenez que chaque année, c’est 9,6 millions de personnes à travers le monde qui meurent du cancer (source: Santé publique France)

C’est pourquoi les efforts des chercheurs et des professionnels de la santé sont continuellement dirigés vers la découverte de nouvelles méthodes de traitement et de prévention.

C. Annonce du sujet : le rôle des mathématiques dans le traitement des cancers

Maintenant, passons à notre sujet du jour : le rôle surprenant des mathématiques dans la lutte contre le cancer.

 
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Vous vous demandez peut-être ce que les mathématiques ont à voir avec le cancer, n’est-ce pas ?

Eh bien, vous seriez surpris de découvrir comment les équations et les modèles mathématiques peuvent nous aider à mieux comprendre cette maladie et à développer des traitements plus efficaces.

I. Modélisation mathématique des tumeurs cancéreuses

A. Modèles de croissance tumorale

1. Modèle de croissance exponentielle

Le modèle de croissance exponentielle est une représentation mathématique de la croissance rapide et non contrôlée des cellules tumorales. Il suppose une augmentation constante du nombre de cellules avec le temps. Cette croissance exponentielle est souvent observée dans les stades initiaux du cancer, lorsque les cellules cancéreuses se multiplient rapidement sans rencontrer de limitations.

 
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C’est le même principe avec la population mondiale : plus il y a d’individus sur la planète, plus il y a de naissances (car il y a plus de parents potentiels).

En gros, retenez que dans ce cas, le nombre de cellules cancéreuses ne fait qu’augmenter, et de manière de plus en plus significative. Cependant, ce modèle présente pas mal de limites, c’est pourquoi il n’est pas toujours pertinent.

2. Modèle de croissance logistique

Le modèle de croissance logistique prend en compte les limitations environnementales et physiologiques qui influent sur la croissance tumorale. Contrairement au modèle exponentiel, ce modèle reconnaît que la croissance ne peut pas être infinie en raison de facteurs tels que la disponibilité des nutriments, de l’oxygène et de l’espace. Ainsi, la croissance tumorale atteint éventuellement un plateau, où la multiplication des cellules est compensée par leur mort.

Parlons à présent plus spécifiquement d’un modèle mathématique qui est très souvent utilisé dans le milieu médical : le modèle de Gompertz (ça vous dit quelque chose❓).

L’équation de cette modélisation est :

N(t) = A \cdot e^{B \cdot e^{C \cdot t}}

Où :

A = 10^{12}, B = \ln(10^{-12}),C = -0.09 

Cette équation permet de modéliser la croissance tumorale en fonction du temps (t), en utilisant les paramètres A, B, et C.

 
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Ok c’est bien beau tout ça, mais concrètement ça donne quoi ?? Pas de souci, voici un petit graphique commenté pour illustrer tout ça 🙏
Modèle de Gompertz

Sur ce graphique, l’axe des abscisses est gradué de manière arbitraire de 0 à 40, car il est difficile d’utiliser une échelle de temps précise. En effet, la vitesse de croissance des différents cancers peut varier considérablement. Certains cancers peuvent se développer rapidement, en seulement 5 ans, tandis que d’autres peuvent prendre jusqu’à 15 ans pour doubler leur taille. Cette variabilité est illustrée par les différentes vitesses de croissance observées.

Observons maintenant la forme de la courbe. Au début, la croissance tumorale est très lente, presque imperceptible, car la courbe reste très proche de l’axe des abscisses. Cette phase initiale correspond à une période où les cellules cancéreuses sont encore peu nombreuses et leur multiplication est limitée.

Ensuite, la croissance commence à s’accélérer progressivement. Cela est dû au fait que les cellules cancéreuses acquièrent des capacités de multiplication plus rapides. Elles deviennent de plus en plus efficaces pour se reproduire, ce qui se traduit par une augmentation significative de la croissance tumorale.

Finalement, la croissance ralentit. Ce ralentissement est causé par une augmentation des pertes cellulaires. À ce stade, les pertes de cellules deviennent équivalentes au nombre de nouvelles cellules créées. Ces pertes sont principalement dues au fait que les cellules cancéreuses perdent leur capacité à réparer leur propre génome. Cette perte de stabilité génétique rend les cellules cancéreuses plus vulnérables aux mutations. Si ces mutations affectent des gènes essentiels à la survie cellulaire, la cellule meurt, entraînant ainsi une diminution du nombre total de cellules.

Pour aller plus loin : ici.

 
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Petit bilan pour ceux qui n’ont rien suivi 🤡. Sur le schéma ci-dessous on voit bien la différence entre le modèle de croissance exponentielle (courbe en orange, avec une augmentation à l’infini) et le modèle de croissance logistique (courbe en vert, avec un plafond à partir duquel l’augmentation est clairement ralentie).
Bilan modèle de croissance exponentielle et modèle modèle de croissance logistique

B. Modèles de développement de la résistance aux traitements

1. Modèles de résistance génétique

Les modèles de résistance génétique examinent comment les mutations génétiques dans les cellules tumorales peuvent conduire à une résistance aux traitements. Les mathématiques sont utilisées pour comprendre comment ces mutations se propagent et comment elles affectent la réponse des cellules cancéreuses aux médicaments. Cette compréhension est cruciale pour le développement de thérapies ciblées et de stratégies de traitement efficaces.

 
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Laissez moi devinez, vous voulez plus de détails, n’est-ce pas ? 😄 Allons-y !

Les modèles de résistance génétique reposent souvent sur des équations différentielles pour représenter l’évolution des populations de cellules tumorales sous l’effet de la sélection naturelle due aux traitements. Voici un exemple simplifié de modèle mathématique qui illustre comment les mutations génétiques conduisent à la résistance aux traitements :

Soit N(t) le nombre de cellules sensibles au traitement à un temps t, et R(t) le nombre de cellules résistantes au traitement à ce même temps. Supposons que la croissance des cellules sensibles suit un modèle de croissance logistique et que la croissance des cellules résistantes suit également un modèle de croissance logistique, mais avec un taux de croissance plus élevé en raison de leur résistance au traitement. Nous pouvons alors modéliser cela comme suit :

  1. Évolution des cellules sensibles :
\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N + R}{K} \right) - dN

Où :

  • r est le taux de croissance intrinsèque des cellules sensibles.
  • K est la capacité de charge de l’environnement (capacité maximale de support des cellules).
  • dN est le taux de mortalité des cellules sensibles.
  1. Évolution des cellules résistantes :
\frac{dR}{dt} = \alpha r R \left(1 - \frac{N + R}{K} \right) - dR

Où :

  • α est un coefficient qui représente le facteur de résistance, généralement supérieur à 1.
  • Les autres termes ont la même signification que pour les cellules sensibles.
 
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Les équations différentielles présentées décrivent comment les populations de cellules sensibles et résistantes évoluent en réponse aux traitements. En comprenant ces modèles, les chercheurs peuvent explorer comment les mutations génétiques conduisent à la résistance et développer des stratégies pour améliorer l’efficacité des traitements contre le cancer.

2. Modèles de résistance induite par le microenvironnement tumoral

Le microenvironnement autour de la tumeur joue également un rôle important dans le développement de la résistance aux traitements. Les cellules cancéreuses peuvent modifier leur environnement pour favoriser leur survie et leur croissance malgré les tentatives de traitement. Les mathématiques permettent de modéliser ces interactions complexes entre les cellules tumorales, les cellules saines et les facteurs environnementaux, fournissant ainsi des informations cruciales pour concevoir des thérapies plus efficaces.

En étudiant ces modèles mathématiques, les chercheurs peuvent mieux comprendre la dynamique complexe des tumeurs cancéreuses et développer des stratégies de traitement plus précises et efficaces. La combinaison de la biologie et des mathématiques ouvre de nouvelles perspectives passionnantes dans la lutte contre le cancer, offrant ainsi de l’espoir à de nombreux patients et professionnels de la santé.

II. Optimisation des traitements

A. Modèles de pharmacocinétique

1. Modélisation de l’absorption, de la distribution, du métabolisme et de l’élimination des médicaments

17 réflexions sur “Comment les mathématiques peuvent aider dans le traitement des cancers ?”

  1. Bonjour, je vous contacte car je compte parler du modele de Gompertz dans mon grand oral et je voulais savoir à quoi correspondait exactement les 3 paramètres A,B et C.
    Merci d’avance 🙂

    1. Bonjour, A représente la taille maximale que la tumeur peut atteindre. B est un paramètre affectant la vitesse de croissance initiale de la tumeur. Et C est le taux de croissance décroissant avec le temps, illustrant la diminution de la croissance de la tumeur à mesure qu’elle grossit.
      Bonne journée à vous.

        1. Bonjour,

          La variable t dans les équations peut représenter différentes unités de temps (minutes, heures, jours…) en fonction du contexte de l’étude.

          Pour les modèles de croissance tumorale, t est souvent mesuré en jours, semaines ou mois, car les tumeurs peuvent croître sur des périodes relativement longues.

          Cependant, pour les modèles pharmacocinétiques, t est généralement mesuré en minutes ou heures, car ces modèles décrivent la concentration des médicaments dans le corps (qui change rapidement après administration).

          N’hésitez pas si vous avez d’autres questions,

          Bonne journée à vous

    1. Bonjour,

      Les sources principalement utilisées pour ce sujet sont mentionnées directement dans le texte avec des liens vers les sites en question. Pour le reste des informations, elles proviennent de recherches sur le sujet.

      N’hésitez pas à étoffer le contenu et à former votre propre bibliographie, nous vous y encourageons vivement ! Cela vous permettra d’approfondir vos connaissances et de découvrir d’autres perspectives sur ce sujet.

      Bonne journée à vous !

    1. Bonjour,

      Les chiffres mentionnés, comme les paramètres de l’équation de Gompertz sont généralement issus d’observations empiriques et d’ajustements de modèles mathématiques aux données expérimentales (cela provient donc d’expériences concrètes).

  2. Bonjour, à quoi sert-il de connaître la formule du nombre de cellules cancéreuses N(t) dans la recherche sur le cancer?

    1. Bonjour,

      Connaître la formule du nombre de cellules cancéreuses permet de modéliser la croissance tumorale, ce qui est essentiel pour comprendre le développement du cancer, évaluer l’efficacité des traitements et planifier les protocoles thérapeutiques.

      Cette modélisation aide à prédire la réponse des tumeurs aux traitements, à optimiser les doses et les calendriers des thérapies, et à anticiper les éventuelles résistances ou récidives, améliorant ainsi les stratégies de prise en charge du cancer !

  3. Bonjour,
    La croissance tumoral suit un modèle exponentiel ou logistique ? A quel moment elle est exponentiel et a quel moment elle est logistique ? J’ai du mal à comprendre le lien entre les deux.
    Merci de votre réponse

    1. Bonjour,

      La croissance tumorale suit d’abord un modèle exponentiel puis un modèle logistique. La croissance est exponentielle aux premiers stades, lorsque les cellules se multiplient rapidement sans limitations. Elle devient logistique lorsqu’elles rencontrent des limitations environnementales et physiologiques, la croissance est ainsi ralentit jusqu’à atteindre un plateau.

      Cordialement.

  4. Bonjour, est ce possible d’avoir un exemple de modèle de résistance génétique avec des valeurs numérique afin de mieux comprendre ce modèle s’il vous plait ?
    En vous remerciant
    bonne journée !

    1. Bonjour,

      Bien sûr ! Voici un exemple simple de modèle de résistance génétique :

      Imaginez que nous ayons deux types de cellules cancéreuses dans une tumeur : les cellules sensibles au traitement et les cellules résistantes. Au début, la plupart des cellules sont sensibles, et le traitement est efficace pour les éliminer. Cependant, à mesure que le traitement continue, certaines cellules mutent et deviennent résistantes. Ces cellules résistantes se multiplient plus rapidement car elles ne sont pas affectées par le traitement.

      Pour illustrer cela avec des valeurs numériques, supposons que nous commençons avec 1000 cellules sensibles (N0 = 1000) et 10 cellules résistantes (R0 = 10). Chaque jour, le nombre de cellules sensibles diminue de 5% (dN = 0.05), mais le nombre de cellules résistantes augmente de 10% (dR = 0.10). Au fil du temps, même si le traitement continue à réduire le nombre de cellules sensibles, le nombre de cellules résistantes augmente, rendant le traitement de moins en moins efficace.

      C’est sur cette idée que repose le modèle !

      Bonne journée à vous aussi

  5. Bonjour, j’ai un énorme problème sur les équations différentielles des cellules sensibles et résistantes. Même mes profs de maths n’arrivent pas à les comprendre. Pouvez vous m’expliquer ou me donner une solution sous la forme y’ = ay+b ? Et est-ce que le taux de mortalité est déterminé expérimentalement ?

    1. Bonjour,

      Ces équations différentielles sont non linéaires, ce qui signifie qu’il est normal qu’elles ne puissent pas être simplifiées sous la forme y’ = ay + b . Pour le grand oral, il est peut-être préférable de ne pas trop développer cette partie et de la garder pour votre culture générale ou pour répondre à d’éventuelles questions lors de l’entretien.

      Concernant le taux de mortalité, il est effectivement déterminé expérimentalement. Les chercheurs effectuent des études en laboratoire pour mesurer la proportion de cellules qui meurent sur une période de temps donnée dans des conditions contrôlées. Cela permet ainsi d’estimer de manière précise le taux de mortalité des cellules sensibles et résistantes.

      Bonne journée à vous

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