Le paradoxe de Monty Hall
Aujourd’hui au menu, un sujet de grand oral de maths sur le problème de Monty Hall 😋
Introduction
A. Brève présentation du sujet
Le paradoxe de Monty Hall est un problème de probabilités qui tire son nom du jeu télévisé américain « Let’s Make a Deal » animé par Monty Hall dans les années 1960 et 1970. Ce problème, bien que très simple en apparence, suscite souvent confusion et débat parmi les personnes qui y sont confrontées. Derrière ce jeu, repose en réalité des principes de probabilité intéressants qui défient souvent l’intuition humaine.
B. Description du jeu et des règles
Dans ce jeu, il y a trois portes, derrière l’une desquelles se trouve un prix (disons une superbe voiture) et derrière les deux autres se trouvent des chèvres. Vous, en tant que joueur, choisissez initialement une porte, sans savoir ce qu’il y a derrière. L’hôte du jeu (le présentateur du jeu télévisé), connaissant l’emplacement du prix, ouvre ensuite une des deux portes restantes qui ne contient pas le prix. Cela crée une nouvelle information pour le joueur, qui peut choisir de modifier ou de maintenir son choix initial.
C. Démonstration d’un exemple de jeu
Supposons que vous choisissez initialement la porte numéro 1. L’hôte, qui sait où se trouve la voiture, ouvre ensuite la porte numéro 3, derrière laquelle se trouve une chèvre. À ce stade, vous avez le choix de rester avec votre porte initiale (la porte numéro 1) ou de changer pour la porte numéro 2. Le joueur peut donc adapter son choix selon sa stratégie ! (et les maths sont pour cela très utiles, eh oui ça sert parfois ce que vous apprenez en classe)
- Vous choisissez initialement une des trois portes (sans savoir ce qui se trouve derrière, en sachant qu’il y a un prix à gagner derrière l’une d’entre elles).
- L’hôte du jeu, qui sait ce qui se cache derrière chaque porte, ouvre une des deux portes que vous n’avez pas choisies, révélant une porte sans prix.
- À ce stade, vous avez la possibilité de rester sur votre choix initial ou de changer de porte.
- Une fois que vous avez pris votre décision, la porte sélectionnée est ouverte, et vous découvrez si vous avez gagné le prix ou non.
I. Analyse intuitive du problème
A. Un problème, deux points de vues
Ce jeu va à l’encontre de ce que l’on pourrait penser, car la plupart des gens voient les choses de deux façons différentes :
Certains disent qu’après que l’hôte a ouvert une porte, il reste deux portes, donc les chances sont de 1 sur 2 de gagner, que l’on garde sa porte ou qu’on en choisisse une autre. Grossomodo, ça revient au même, que tu changes de porte ou pas.
D’autres pensent que si tu gardes ta porte initiale, tu ne gagnes que si tu avais choisi la bonne porte dès le départ, ce qui n’était qu’une chance sur trois. Donc, ça revient à dire qu’il y a 1 chance sur 3 de gagner sans changer de porte, et 2 chances sur 3 de gagner en changeant.
B. Le point de vue correcte
Ces affirmations contradictoires ont donné naissance à un paradoxe. En réalité, si le participant décide de changer de porte, ses chances de remporter la voiture passent de 1/3 à 2/3, tandis que ses chances de gagner en restant avec son choix initial demeurent à 1/3. Bien que cela puisse sembler contre-intuitif, la meilleure stratégie est donc de toujours changer de porte. C’est ce que nous allons maintenant examiner en résolvant ce problème.
II. Approche probabiliste
A. Formulation du problème en termes de probabilités
La solution repose sur trois cas que nous allons numérotés et définir en fonction du choix initial :
- Cas 1 (noté C1) : Si le candidat choisit initialement la porte de la chèvre 1 et que le présentateur ouvre la porte de la chèvre 2, alors la porte restante cache la voiture et le candidat gagne.
- Cas 2 (noté C2) : Si le candidat choisit initialement la porte de la chèvre 2 et que le présentateur ouvre la porte de la chèvre 1, alors la porte restante cache la voiture et le candidat gagne.
- Cas 3 (noté C3) : Si le candidat choisit initialement la porte de la voiture et que le présentateur ouvre la porte d’une des deux chèvres, alors la porte restante cache une chèvre et le candidat ne gagne pas.
On remarque que dans 2 cas sur 3, la porte restante cache la voiture.
Soit C1, C2 et C3 les événements correspondant aux portes 1, 2 et 3 respectivement. Et G l’événement « le joueur gagne ».
Ce que nous cherchons à savoir, et s’il vaut mieux changer de choix ou non. Alors quelle est la meilleure stratégie ? Distinguons donc ces deux cas, et calculons les probabilités pour ne plus se faire avoir 😉
B. Le joueur change de porte
Effectuons une simulation du jeu en imaginant que le joueur change de porte :
- Si le candidat avait initialement choisi une porte à chèvre (C1 et C2), changer de porte le conduit toujours à gagner la voiture, soit une probabilité de 1.
- Si le candidat avait initialement choisi la porte de la voiture (C3), changer de porte le conduit toujours à ouvrir une porte à chèvre, donc une probabilité de 0. Ainsi, la probabilité de gagner en changeant de porte est de 1 * 2/3 + 0 * 1/3, ce qui équivaut à 2/3.
\begin{aligned}
P(G) &= P(G,C1)+P(G,C2)+P(G,C3) \\
&= P(G|C1)P(C1)+P(G|C2)P(C2)+P(G|C3)P(C3).
\end{aligned}Or initialement, chaque cas a autant de chance d’être choisi (on choisit une porte au hasard), donc
P(C1)=P(C2)=P(C3)=1/3.
Si l’on a initialement choisi une porte à chèvre (cas C1 et C2), changer de porte conduit à gagner la voiture donc P(G|C1) = P(G|C2) = 1. En effet, si on choisit une porte à chèvre, le présentateur va ouvrir l’autre porte à chèvre (il ne va bien évidemment pas ouvrir la porte à voiture, donc la 3ème porte restante est avec certitude la porte à voiture).
À contrario, si le joueur avait initialement choisi la porte de la voiture (cas C3), changer de porte conduit à une défaite, donc P(G|C3) = 0.
C. Le joueur ne change pas de porte
Maintenant, imaginons que le joueur ne change pas de porte :
- Dans ce cas, le candidat ne gagne que s’il avait choisi initialement la porte de la voiture, ce qui donne une probabilité de 1.
- Si le joueur ne change pas de porte, la probabilité de gagner est de 0 * 2/3 + 1 * 1/3, soit 1/3.
\begin{align*}
P(G) &= P(G,C1) + P(G,C2) + P(G,C3) \\
&= P(G|C1)P(C1) + P(G|C2)P(C2) + P(G|C3)P(C3).
\end{align*}
Si on ne change pas de porte, on ne gagne que si l’on avait initialement choisi la bonne porte donc P(G|C3)=1 et P(G|C1) = P(G|C2) = 0.
D. Conclusion
Changez de porte !! La probabilité de gagner est deux fois plus élevée en changeant de porte. Changer de porte fait passer la probabilité de repartir avec la voiture de 1/3 à 2/3 !
On ne dort pas !! Ce n’est pas encore fini…
