Comment les mathématiques augmentent-elles nos chances de gagner aux jeux ?

Introduction

Depuis toujours, les jeux de hasard fascinent… et ruinent parfois ! 😅 Que ce soit à la roulette, au poker ou même dans des jeux télévisés, on a l’impression que tout repose sur la chance. Pourtant, derrière les dés, les cartes ou la roue, ce sont bien les mathématiques qui décident des probabilités et des gains.

En particulier, la notion d’espérance mathématique permet de savoir si un jeu est « équitable » ou non. Dans certains cas, les maths montrent que l’on perd toujours à long terme, comme à la roulette. Mais dans d’autres situations, elles permettent au contraire d’augmenter réellement ses chances de gagner, ou bien de révéler des résultats totalement contre-intuitifs.

Problématique : dans quelle mesure les mathématiques peuvent-elles nous aider à mieux comprendre (et parfois optimiser) nos chances de gagner aux jeux ?

I. La roulette française

1. Calculs d’espérance sur quelques mises

La roulette française comporte 37 cases : les nombres de 1 à 36 + une case 0 (qui n’appartient à aucune couleur ni série → c’est l’astuce du casino). On mise 1 €, et selon le type de pari, le gain est un multiple de la mise.

Exemple 1 : mise sur un numéro plein

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{1}{37}[/math].
• Gain si on réussit : 35 € (35 fois la mise).
• Sinon, perte de 1 €.

Espérance mathématique :

\mathbb E(G) = \tfrac{1}{37}\times 35 + \tfrac{36}{37}\times (-1) = -\tfrac{1}{37}.

Exemple 2 : mise sur une couleur (rouge/noir, 18 cases sur 37)

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{18}{37}[/math].
• Gain : +1 €.
• Perte sinon : -1 €.

Espérance :

\mathbb E(G) = \tfrac{18}{37}\times 1 + \tfrac{19}{37}\times (-1) = -\tfrac{1}{37}.

Résultat : que l’on mise sur un numéro ou sur une couleur, l’espérance est toujours négative : le joueur perd en moyenne 3 centimes par euro misé (en réalité [math]-\tfrac{1}{37} \approx -0,027[/math], soit environ 2,7 centimes par euro).

2. Formule générale et équation à résoudre

On peut évidemment généraliser.

Si on mise sur [math]x[/math] cases avec un gain de [math]y[/math] fois la mise en cas de succès, alors :

• Probabilité de gagner : [math]\tfrac{x}{37}[/math].
• Probabilité de perdre : [math]\tfrac{37-x}{37}[/math].
• Espérance :

\mathbb E(G) = \tfrac{x}{37}\cdot y + \tfrac{37-x}{37}\cdot (-1).

Simplifions :

\mathbb E(G) = \tfrac{xy - (37-x)}{37} = \tfrac{xy + x - 37}{37}.

Or, le casino choisit [math]y[/math] (le multiplicateur de gain) pour que le joueur perde toujours à long terme.

En posant [math]\mathbb E(G) = -\tfrac{1}{37},[/math] on obtient l’équation :

xy + x - 37 = -1 \quad \Rightarrow \quad x(1+y) = 36.

Donc :

y = \tfrac{36}{x} - 1.

Exemple : si on mise sur [math]x=12[/math] cases, alors [math]y = \tfrac{36}{12} – 1 = 2.[/math]

Le casino fixe donc le gain à +2 fois la mise.

II. Quand les maths donnent vraiment un avantage

1. Le poker : un jeu de probabilités conditionnelles

Contrairement à la roulette où tout est fixé d’avance, au poker les décisions influencent directement les gains. Les maths interviennent donc via les cotes (odds).

🎲 Exemple concret : Poker Texas Hold’em

Au poker, les joueurs reçoivent 2 cartes fermées et partagent 5 cartes communes.

Supposons qu’après le flop (les 3 premières cartes communes), un joueur ait 4 cartes à ♣ (trèfle). Il lui manque donc 1 seul ♣ pour compléter une couleur (5 cartes de la même famille), une main très forte.

Il reste 47 cartes inconnues, dont 9 trèfles favorables.

• Probabilité de réussir au turn (la 4e carte) : [math]P = \tfrac{9}{47} \approx 0,191 [/math].
• Cela correspond à des cotes d’environ 4 contre 1 : il faut en moyenne 4 échecs pour 1 réussite (car 20%=1/5).

Maintenant, imaginons que la mise à payer soit de 10 € pour espérer remporter un pot de 70 €.

Espérance de gain :

\mathbb{E}(G) = 0,191 \times 70 - 0,809 \times 10 = 13,37 - 8,09 = +5,28

2. Le blackjack : un jeu où l’on peut changer les probabilités

Au blackjack, le but est d’obtenir une main dont la valeur est la plus proche possible de 21, sans le dépasser. Chaque joueur affronte le croupier. Les cartes de 2 à 10 valent leur valeur, les figures valent 10, et l’As vaut 1 ou 11.

Comme les cartes ne sont pas remises dans le sabot avant chaque partie → les probabilités évoluent au fil des tirages.

Un exemple simplifié :

• Avec un sabot complet, la probabilité que la prochaine carte soit un As est [math] \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13} \approx 7,7\%[/math].
• Si trois As sont déjà sortis, il ne reste qu’un As sur 49 cartes : [math]\tfrac{1}{49} \approx 2\%[/math].
• À l’inverse, si aucun As n’est sorti après 20 cartes, la probabilité monte à [math]\tfrac{4}{32} = 12,5\%[/math].

Cela justifie le comptage de cartes : en tenant compte des cartes déjà sorties, un joueur peut adapter ses mises.

Ainsi :

• Quand il reste beaucoup de cartes fortes (10, figures, As), la probabilité d’obtenir un blackjack (21) augmente. Or, un blackjack rapporte plus que la mise (souvent 1,5 fois la mise). Dans ces situations, l’espérance du joueur peut devenir légèrement positive : il gagne en moyenne un petit peu sur le long terme.
• Dans les situations neutres, le casino garde son avantage : [math]\mathbb{E}(G) \approx -0,005[/math].

III. Quand les maths nous piègent

1. Les fausses stratégies « gagnantes » : la martingale

Une martingale est une stratégie populaire à la roulette : après chaque perte, on double sa mise pour « être sûr » de se refaire.

Exemple :

On mise 1 € sur rouge (probabilité [math]18/37[/math]).

• Si on gagne, gain = +1 €.
• Si on perd, on double → 2 €, puis 4 €, puis 8 €, etc.

En théorie :

• une victoire rembourse toutes les pertes précédentes et ajoute +1 €.
• On a l’impression que c’est infaillible.

Mais en pratique :

• Probabilité de perdre 10 fois de suite : [math]\left(\tfrac{19}{37}\right)^{10} \approx 1,9\%[/math].
• Cela oblige à miser : [math]1+2+4+\dots+2^{9} = 1023 €[/math].

Espérance de gain : elle reste exactement la même qu’avant (négative : [math]\mathbb{E}(G)=-\tfrac{1}{37}[/math] par euro misé).

2. Quand les probabilités contredisent notre intuition

Un autre piège : certains jeux sont contre-intuitifs.

Exemple du paradoxe de Monty Hall :

• On choisit une porte (probabilité 1/3 d’avoir la voiture).
• L’animateur ouvre une autre porte vide.
• Si l’on change de porte, la probabilité de gagner passe à [math]2/3[/math].

Beaucoup pensent que les chances sont de 50/50, mais les maths prouvent qu’il vaut toujours mieux changer.

D’ailleurs, il y a un sujet de grand oral spécialement sur le paradoxe de Monty Hall.

Conclusion

• À la roulette, les maths prouvent que l’espérance est toujours négative → le casino gagne à long terme.
• Au poker ou au blackjack, elles permettent au contraire de prendre l’avantage en jouant « intelligemment » (mais attention, ces techniques (comme le comptage de cartes) sont interdites en casino).
• Enfin, elles révèlent que nos intuitions sont souvent trompeuses (martingale, Monty Hall).

Les mathématiques ne garantissent pas de gagner à coup sûr, mais elles peuvent donner de vraies clés pour comprendre et déjouer le hasard. 🎲

On espère que ce sujet vous aidera, et que vous saurez l’exploiter au mieux pour briller à votre épreuve !