Nouveau sujet de grand oral de maths sur le nombre d’or.
Introduction
Le nombre d’or, également connu sous le nom de « phi » (φ), est un concept mathématique fascinant qui a captivé l’attention des mathématiciens, des artistes et des penseurs depuis des siècles. Aussi appelé « Divine Proportion », ce nombre irrationnel est approximativement égal à 1,6180339887… et possède des propriétés uniques et remarquables. Au cours de ce Grand Oral, nous explorerons les origines du nombre d’or, ses propriétés mathématiques, son apparition dans l’art et la nature, ainsi que son impact sur la perception esthétique et l’architecture.
I. Les origines et les propriétés du nombre d’or
1. Histoire et découverte du nombre d’or
Le nombre d’or a une histoire riche et fascinante qui remonte à l’Antiquité. L’une des premières mentions du nombre d’or dans les écrits mathématiques provient des Éléments d’Euclide, datant du IIIe siècle avant notre ère. Euclide étudiait les rapports entre segments de droites et décrivit la division d’un segment en « extrême et moyenne raison » comme une proportion extrêmement harmonieuse, correspondant au nombre d’or.
Le mathématicien grec Pythagore et son école ont également découvert certaines propriétés du nombre d’or. Cependant, c’est le mathématicien grec du IVe siècle av. J.-C., Euclide, qui a le plus contribué à l’étude du nombre d’or et à sa notation avec la lettre grecque φ (phi).
2. Définition et propriétés mathématiques du nombre d’or
Le nombre d’or, noté φ (phi), est une quantité irrationnelle qui se situe approximativement à 1,6180339887… Il est défini comme la solution positive de l’équation quadratique :
\phi^2 = \phi + 1
et vaut donc :
\phi = \frac{{1 + \sqrt{5}}}{2}Cette équation est particulièrement intéressante car elle peut être résolue de manière itérative pour obtenir une séquence infinie de fractions convergentes qui s’approchent du nombre d’or.
3. Relation avec la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une séquence infinie d’entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents. Elle commence généralement par 0 et 1, donnant ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Mathématiquement, cela peut être défini par les relations de récurrence suivantes :
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ pour } n \geq 2
Une autre façon de l’exprimer est avec la formule fermée :
F_n = \frac{\phi^n - (1 - \phi)^n}{\sqrt{5}}
Où ϕ est le nombre d’or.
La relation entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci est étonnante et a captivé l’attention des mathématiciens et des artistes depuis sa découverte. Lorsque l’on prend deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et que l’on divise le plus grand par le plus petit, le résultat s’approche de plus en plus du nombre d’or à mesure que l’on prend des nombres plus grands.
On considère donc la séquence de fractions partielles définie par :
\frac{F_0}{1}, \frac{F_1}{F_0}, \frac{F_2}{F_1}, \frac{F_3}{F_2}, \ldotsOù Fn/Fn-1 est la n-ième approximation de φ. Cette séquence commence avec la fraction 1/1, puis chaque terme suivant est obtenu en ajoutant 1 à l’inverse de la fraction précédente (c.f. relation ci-dessous).
Mathématiquement, cela peut être formalisé par les relations de récurrence suivantes :
F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \text{ et } \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{F_{n-1}}{F_n} + 1
Ces relations montrent comment chaque terme de la séquence est construit à partir des termes précédents. À mesure que n tend vers l’infini, les fractions Fn/Fn−1 convergent vers φ. Cela signifie que plus nous prenons de termes dans la séquence, plus nos approximations de φ deviennent précises.
Cette relation avec la suite de Fibonacci est souvent illustrée par la construction du « rectangle d’or ». En traçant des carrés dont les côtés correspondent aux nombres de la suite de Fibonacci et en reliant leurs sommets pour former une spirale, on obtient un rectangle dont les côtés sont en proportion d’or. Ce rectangle est souvent considéré comme esthétiquement agréable, et de nombreuses œuvres architecturales et artistiques utilisent cette proportion pour susciter une sensation d’harmonie et d’équilibre visuel.
Ainsi, les origines et les propriétés du nombre d’or sont étroitement liées à l’histoire des mathématiques et à la fascination qu’il exerce sur les esprits créatifs. La relation avec la suite de Fibonacci ajoute une dimension esthétique et artistique à ce concept mathématique, qui continue d’influencer l’architecture, l’art et notre compréhension de la beauté dans le monde qui nous entoure.
