Nouveau sujet de grand oral de maths sur le nombre d’or.
Introduction
Le nombre d’or, également connu sous le nom de « phi » (φ), est un concept mathématique fascinant qui a captivé l’attention des mathématiciens, des artistes et des penseurs depuis des siècles. Aussi appelé « Divine Proportion », ce nombre irrationnel est approximativement égal à 1,6180339887… et possède des propriétés uniques et remarquables. Au cours de ce Grand Oral, nous explorerons les origines du nombre d’or, ses propriétés mathématiques, son apparition dans l’art et la nature, ainsi que son impact sur la perception esthétique et l’architecture.
I. Les origines et les propriétés du nombre d’or
1. Histoire et découverte du nombre d’or
Le nombre d’or a une histoire riche et fascinante qui remonte à l’Antiquité. L’une des premières mentions du nombre d’or dans les écrits mathématiques provient des Éléments d’Euclide, datant du IIIe siècle avant notre ère. Euclide étudiait les rapports entre segments de droites et décrivit la division d’un segment en « extrême et moyenne raison » comme une proportion extrêmement harmonieuse, correspondant au nombre d’or.
Le mathématicien grec Pythagore et son école ont également découvert certaines propriétés du nombre d’or. Cependant, c’est le mathématicien grec du IVe siècle av. J.-C., Euclide, qui a le plus contribué à l’étude du nombre d’or et à sa notation avec la lettre grecque φ (phi).
2. Définition et propriétés mathématiques du nombre d’or
Le nombre d’or, noté φ (phi), est une quantité irrationnelle qui se situe approximativement à 1,6180339887… Il est défini comme la solution positive de l’équation quadratique :
\phi^2 = \phi + 1
et vaut donc :
\phi = \frac{{1 + \sqrt{5}}}{2}Cette équation est particulièrement intéressante car elle peut être résolue de manière itérative pour obtenir une séquence infinie de fractions convergentes qui s’approchent du nombre d’or.
3. Relation avec la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une séquence infinie d’entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents. Elle commence généralement par 0 et 1, donnant ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Mathématiquement, cela peut être défini par les relations de récurrence suivantes :
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ pour } n \geq 2
Une autre façon de l’exprimer est avec la formule fermée :
F_n = \frac{\phi^n - (1 - \phi)^n}{\sqrt{5}}
Où ϕ est le nombre d’or.
La relation entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci est étonnante et a captivé l’attention des mathématiciens et des artistes depuis sa découverte. Lorsque l’on prend deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et que l’on divise le plus grand par le plus petit, le résultat s’approche de plus en plus du nombre d’or à mesure que l’on prend des nombres plus grands.
On considère donc la séquence de fractions partielles définie par :
\frac{F_0}{1}, \frac{F_1}{F_0}, \frac{F_2}{F_1}, \frac{F_3}{F_2}, \ldotsOù Fn/Fn-1 est la n-ième approximation de φ. Cette séquence commence avec la fraction 1/1, puis chaque terme suivant est obtenu en ajoutant 1 à l’inverse de la fraction précédente (c.f. relation ci-dessous).
Mathématiquement, cela peut être formalisé par les relations de récurrence suivantes :
F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \text{ et } \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{F_{n-1}}{F_n} + 1
Ces relations montrent comment chaque terme de la séquence est construit à partir des termes précédents. À mesure que n tend vers l’infini, les fractions Fn/Fn−1 convergent vers φ. Cela signifie que plus nous prenons de termes dans la séquence, plus nos approximations de φ deviennent précises.
Cette relation avec la suite de Fibonacci est souvent illustrée par la construction du « rectangle d’or ». En traçant des carrés dont les côtés correspondent aux nombres de la suite de Fibonacci et en reliant leurs sommets pour former une spirale, on obtient un rectangle dont les côtés sont en proportion d’or. Ce rectangle est souvent considéré comme esthétiquement agréable, et de nombreuses œuvres architecturales et artistiques utilisent cette proportion pour susciter une sensation d’harmonie et d’équilibre visuel.
Ainsi, les origines et les propriétés du nombre d’or sont étroitement liées à l’histoire des mathématiques et à la fascination qu’il exerce sur les esprits créatifs. La relation avec la suite de Fibonacci ajoute une dimension esthétique et artistique à ce concept mathématique, qui continue d’influencer l’architecture, l’art et notre compréhension de la beauté dans le monde qui nous entoure.
II. Le nombre d’or dans l’art
1. L’utilisation du nombre d’or dans l’architecture
L’influence du nombre d’or dans l’architecture remonte à l’Antiquité et continue de se manifester dans des bâtiments emblématiques à travers les âges. De nombreux architectes renommés ont utilisé la proportion dorée pour créer des structures équilibrées et esthétiquement agréables.
Un exemple classique est le Parthénon, situé sur l‘Acropole d’Athènes en Grèce. La façade de ce temple est conçue selon des proportions dorées, ce qui se traduit par un équilibre visuel harmonieux. De même, la cathédrale Notre-Dame de Paris présente des éléments architecturaux basés sur le nombre d’or, offrant une esthétique équilibrée et impressionnante.
De nos jours, certains architectes contemporains continuent d’explorer l’utilisation du nombre d’or dans leurs conceptions, cherchant à créer des espaces qui suscitent une réponse émotionnelle positive chez les spectateurs.
2. La présence du nombre d’or dans l’art pictural
De nombreux artistes renommés ont utilisé la proportion dorée dans leurs œuvres pour créer une composition visuellement agréable et équilibrée. La célèbre peinture « La Cène » de Léonard de Vinci est un exemple souvent cité. L’artiste a utilisé la proportion d’or pour disposer les personnages et les éléments de la scène, ce qui contribue à la perspective et à l’harmonie de l’œuvre.
D’autres peintres tels que Georges Seurat, Salvador Dalí, et Piet Mondrian ont également exploré l’utilisation du nombre d’or dans leurs créations pour renforcer la symétrie et l’esthétique de leurs œuvres.
3. Musique et littérature
Outre les arts visuels, le nombre d’or a également trouvé sa place dans la musique et la littérature. Certains compositeurs ont cherché à intégrer cette proportion dans leurs compositions musicales pour créer des mélodies et des harmonies équilibrées.
Dans la littérature, certains auteurs ont utilisé le nombre d’or dans la structure de leurs récits, en divisant leurs œuvres en parties basées sur cette proportion, créant ainsi un sentiment de rythme et de symétrie dans la narration.
L’utilisation du nombre d’or dans l’art et la musique témoigne de l’attrait qu’exerce cette proportion sur les créateurs qui cherchent à atteindre une harmonie et une beauté intemporelles dans leurs œuvres.
Le nombre d’or continue de fasciner le monde de l’art sous toutes ses formes. Des bâtiments majestueux aux chefs-d’œuvre picturaux, en passant par les compositions musicales et les récits littéraires, cette proportion mathématique a su capturer l’imagination des créateurs au fil des siècles.
Son utilisation dans l’architecture permet de concevoir des structures équilibrées et esthétiquement plaisantes. Dans la peinture et l’art visuel, le nombre d’or contribue à créer une composition harmonieuse et agréable à l’œil. Dans la musique et la littérature, il offre une opportunité de rythme et d’équilibre dans la création artistique.
Le nombre d’or incarne ainsi l’idée que la beauté et l’harmonie sont des concepts universels, qui trouvent un écho dans la nature, les mathématiques et l’expression artistique humaine. En explorant davantage cette proportion dorée, nous pouvons mieux apprécier le lien profond entre la logique mathématique et la perception esthétique, unissant ainsi l’art et la science dans un dialogue perpétuel.
III. Le nombre d’or dans la nature
1. La présence du nombre d’or dans le règne végétal
Le nombre d’or se manifeste de manière étonnante dans le monde végétal, notamment à travers les motifs de certaines plantes et fleurs. L’une des illustrations les plus connues est la disposition des graines dans certaines pommes de pin. En examinant attentivement leur disposition, on découvre que le nombre de spirales tournant dans un sens et le nombre de spirales tournant dans l’autre sont souvent deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Ces spirales obéissent donc à la proportion dorée, offrant ainsi à la nature une structure à la fois harmonieuse et efficace pour la répartition des graines.
De plus, on observe également des motifs basés sur le nombre d’or dans certaines feuilles lorsqu’on les examine de près. Certaines plantes adoptent cette disposition afin de maximiser l’exposition au soleil et la capture de l’énergie lumineuse nécessaire à la photosynthèse.
2. Phénomènes naturels
Au-delà du règne végétal, le nombre d’or apparaît également dans certains phénomènes naturels. Par exemple, certains ouragans et tornades montrent des motifs spirales qui suivent la proportion dorée. Cette régularité dans leur formation contribue à leur stabilité et à leur caractère cyclique.
Un autre exemple courant est celui des coquillages spiralés, tels que les coquilles d’escargot. La courbe formée par ces coquillages suit une progression basée sur le nombre d’or, conférant ainsi à leur forme une beauté géométrique remarquable.
On reconnaît ici une coquille d’escargot, mais surtout la spirale construite lors de la vidéo précédente !! N’hésitez pas à faire le rapprochement entre les deux. Cela montrera également aux examinateurs que vos parties sont liées entre elles, et que vous suivez un raisonnement bien construit 🙂
3. Le nombre d’or et le corps humain
Une notion souvent discutée et controversée est celle de la présence du nombre d’or dans certaines proportions du corps humain. Certains affirment que des parties du corps, comme la main, le visage ou le corps entier, peuvent être divisées selon la proportion d’or, créant ainsi des relations esthétiques idéales. Cependant, il est important de noter que ces assertions sont souvent le sujet de débats dans la communauté scientifique et artistique, et les opinions divergent quant à leur validité.
Le nombre d’or dans la nature nous rappelle que les lois mathématiques fondamentales se reflètent dans le monde qui nous entoure, du plus petit éclat d’une coquille de nacre à la majesté d’un ouragan. Cette proportion spéciale, intimement liée à la suite de Fibonacci, révèle une harmonie inhérente et une esthétique universelle qui transcende les frontières du règne animal et végétal.
La présence du nombre d’or dans la nature a également inspiré de nombreux artistes, architectes et penseurs au fil des siècles, nourrissant ainsi notre compréhension de la beauté et de l’équilibre. En comprenant mieux cette relation entre la mathématique et le monde naturel, nous pouvons approfondir notre perception esthétique et saisir comment les proportions et les motifs harmonieux trouvent leur place dans notre réalité.
En définitive, le nombre d’or nous offre un pont entre la rigueur des mathématiques et la poésie de l’art (j’aime beaucoup, ça sonne poétique un peu 😍), soulignant ainsi que la beauté est omniprésente et que la science peut servir de fondement à l’esthétique de notre univers.
Conclusion
Le nombre d’or est un concept mathématique qui continue d’intriguer et d’inspirer les esprits créatifs à travers les siècles. De sa découverte historique à son utilisation dans l’art et sa présence dans la nature, le nombre d’or représente une union étonnante entre les sciences, l’art et la beauté. En comprenant et en appréciant ce phénomène, nous pouvons mieux saisir comment les mathématiques fondamentales peuvent se refléter dans le monde qui nous entoure, établissant ainsi un lien profond entre la logique et l’esthétique.
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