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Grand Oral Maths

Comment les maths servent les œuvres architecturales du monde ?

Table des matières

Comment les maths servent les œuvres architecturales du monde ?

Introduction

A. Définition de l’architecture et son lien avec les mathématiques

L’architecture est l’art et la science de concevoir et de construire des structures physiques, telles que des bâtiments, des ponts, des monuments, etc. Elle englobe à la fois des aspects esthétiques, fonctionnels et techniques. Les mathématiques sont intrinsèquement liées à l’architecture depuis des siècles, fournissant les outils nécessaires pour résoudre des problèmes de conception, de mesure, de proportion, et de résistance des matériaux.

B. Importance de l’application des mathématiques en architecture

L’application des mathématiques en architecture est cruciale pour plusieurs raisons. Tout d’abord, elle permet aux architectes de concevoir des structures solides et fonctionnelles en comprenant les principes mathématiques sous-jacents. Ensuite, les mathématiques aident à optimiser l’utilisation des matériaux et à minimiser les coûts de construction. Enfin, elles permettent la création d’œuvres architecturales esthétiquement plaisantes en utilisant des principes de proportion, de symétrie et d’harmonie.

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Retenez que plus il y a de maths, mieux ça tient, et surtout plus c’est beau 😎

C. Annonce du plan

Dans cette présentation, nous explorerons en détail comment les mathématiques servent l’architecture à travers différents aspects, en commençant par l’utilisation de la géométrie dans la conception architecturale.

I. Géométrie et conception architecturale

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Bon je suis un peu perdu, qu’est ce que vous entendez par « géométrie et conception architecturale » ? 🤔 Eh bien c’est simple, cela veut simplement dire que les formes géométriques sont la base de toute construction ! Bien sûr, on ne va pas faire un bâtiment tordu (quoique… #TourDePise)
  1. Exemples de formes géométriques : carrés, cercles, triangles
    • Les carrés et les rectangles sont souvent utilisés pour la disposition des pièces et la forme des bâtiments.
    • Les cercles sont utilisés pour créer des dômes, des tours et des structures circulaires.
    • Les triangles sont fréquemment utilisés pour la stabilité et la résistance structurelle, par exemple dans les toits en pente.
  2. Application des principes de la géométrie dans la disposition des espaces et des structures
    • La géométrie euclidienne est souvent utilisée pour la modélisation des espaces intérieurs et extérieurs.
    • Les principes de la trigonométrie sont employés pour déterminer les angles des toits, des fenêtres et des façades en fonction de l’ensoleillement et de la ventilation.
    • Les transformations géométriques telles que les translations, les rotations et les symétries sont utilisées pour créer des motifs décoratifs et des éléments architecturaux.

En utilisant ces principes, les architectes peuvent créer des structures à la fois fonctionnelles, esthétiques et solides, en exploitant les propriétés mathématiques des formes et des espaces.

II. Calcul de volumes et de surfaces

A. Calcul des volumes pour les fondations et les structures souterraines

Utilisation de l’algèbre pour dimensionner les fondations en fonction de la charge

Dans la conception d’une structure architecturale, il est crucial de dimensionner correctement les fondations pour supporter le poids de la construction et pour résister aux forces sismiques et autres contraintes. L’algèbre est utilisée pour résoudre les équations qui déterminent les dimensions nécessaires des fondations.

Par exemple, supposons que nous construisions un bâtiment avec une charge totale P (exprimée en newtons ou en kilogrammes). Pour dimensionner les fondations, nous devons calculer la pression maximale admissible Pmax que le sol peut supporter. Cette pression maximale est déterminée par des tests géotechniques et est exprimée en newtons par unité de surface (par exemple, newtons par mètre carré).

En utilisant l’équation :

P_{max} = \frac{P}{A}

A est la surface de la fondation (exprimée en mètres carrés). Nous pouvons résoudre pour A en réarrangeant l’équation :

A = \frac{P}{P_{max}}

C’est ici que l’algèbre intervient, en utilisant cette équation pour calculer la surface requise des fondations en fonction de la charge totale et de la pression maximale admissible.

B. Calcul des surfaces pour les revêtements et les façades

Utilisation de la trigonométrie pour déterminer les angles des façades en fonction de l’ensoleillement

Lors de la conception des façades d’un bâtiment, les architectes doivent prendre en compte l’orientation du soleil pour maximiser l’éclairage naturel et minimiser la chaleur excessive à l’intérieur. La trigonométrie est utilisée pour calculer les angles des façades afin d’optimiser l’exposition au soleil.

Par exemple, supposons que nous voulions concevoir une façade avec des fenêtres inclinées pour maximiser la lumière du matin tout en minimisant la lumière directe du soleil en après-midi. En utilisant les principes de la trigonométrie, nous pouvons calculer l’angle optimal θ de ces fenêtres par rapport à l’horizontale.

En utilisant la relation trigonométrique :

\tan⁡(θ) = \frac{\text{hauteur de la fenêtre}}{\text{distance horizontale à la fenêtre}}

​nous pouvons déterminer l’angle θ en fonction de la hauteur de la fenêtre et de sa position horizontale par rapport au sol. En ajustant ces angles, les architectes peuvent optimiser l’éclairage naturel et l’efficacité énergétique des bâtiments.

Ainsi, les mathématiques, en particulier l’algèbre et la trigonométrie, jouent un rôle essentiel dans le calcul des volumes et des surfaces nécessaires à la conception des fondations, des structures souterraines, des revêtements et des façades des bâtiments architecturaux.

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Raison de plus pour suivre en cours de trigo, c’est important 😴

III. Symétrie et harmonie

A. Utilisation de la symétrie dans la conception architecturale

Réflexion de la symétrie dans les plans et les façades

La symétrie est un concept fondamental en architecture qui contribue à créer un sens d’ordre, d’équilibre et de beauté. Les architectes utilisent souvent des éléments symétriques dans la conception de plans et de façades pour créer des structures esthétiquement plaisantes et fonctionnelles.

En mathématiques, la symétrie peut être définie comme une correspondance exacte entre les parties opposées d’un objet, de sorte que l’objet conserve son apparence lorsque reflété ou tourné. Dans la conception architecturale, cela se traduit souvent par l’utilisation de plans et de façades symétriques par rapport à un axe central ou à plusieurs axes.

Par exemple, dans la conception d’un bâtiment avec une façade symétrique par rapport à un axe vertical central, les architectes utilisent des calculs simples pour s’assurer que les éléments de chaque côté de l’axe sont équivalents en termes de dimensions, de formes et de positionnement. Les équations mathématiques de la symétrie peuvent être utilisées pour garantir que ces éléments sont parfaitement alignés et proportionnés, contribuant ainsi à l’esthétique globale de la structure.

B. Application des proportions et des ratios pour créer l’harmonie visuelle

Utilisation du nombre d’or et de la suite de Fibonacci dans la composition architecturale

Le nombre d’or, également connu sous le nom de proportion divine, et la suite de Fibonacci sont des concepts mathématiques qui ont été largement utilisés par les architectes à travers les âges pour créer une harmonie visuelle et esthétique dans leurs œuvres.

Le nombre d’or, représenté par la lettre grecque phi (φ), est approximativement égal à 1,618. Il est défini mathématiquement comme la solution positive de l’équation suivante :

\phi^2 = \phi + 1

​​Le nombre d’or vaut donc :

\phi = \frac{{1 + \sqrt{5}}}{2}

Ce nombre possède des propriétés uniques qui le rendent esthétiquement agréable à l’œil humain.

Dans la conception architecturale, le nombre d’or est souvent utilisé pour déterminer les proportions idéales des éléments d’un bâtiment, tels que la hauteur des colonnes, la largeur des portes et des fenêtres, et la disposition des espaces intérieurs. Les architectes calculent ces proportions en utilisant des formules basées sur le nombre d’or, contribuant ainsi à créer une harmonie visuelle et une esthétique équilibrée.

De même, la suite de Fibonacci, où chaque nombre est la somme des deux nombres précédents (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.), est utilisée pour créer des proportions agréables dans la composition architecturale. Les architectes utilisent les rapports entre les nombres de la suite de Fibonacci pour déterminer les dimensions des éléments architecturaux, en veillant à ce qu’ils soient en accord avec les proportions naturelles et harmonieuses observées dans la nature.

En utilisant ces principes mathématiques, les architectes peuvent créer des structures architecturales qui captivent l’œil et l’esprit, en harmonie avec les lois mathématiques sous-jacentes qui gouvernent la beauté et l’esthétique.

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Retenez que c’est un peu comme un nombre parfait, qui sert beaucoup en architecture. Si vous voulez aller plus loin, nous avons un sujet de grand oral entièrement dédié à ce sujet 😈

IV. Résolution de problèmes architecturaux complexes

A. Calcul des charges et des contraintes structurales

Utilisation du calcul vectoriel pour analyser les forces agissant sur les structures

Dans la conception architecturale, il est essentiel de comprendre comment les forces agissent sur les différentes parties de la structure afin de garantir sa stabilité et sa durabilité. Le calcul vectoriel est un outil mathématique puissant utilisé pour analyser ces forces et déterminer les contraintes structurales.

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C’est bien beau tout ça, mais est-ce qu’on peut avoir un exemple concret ?? 😔

Supposons que nous voulions concevoir un pont. Pour garantir sa stabilité, nous devons analyser les forces qui agissent sur les différents éléments du pont, telles que les charges de gravité, les forces du vent, et les charges dynamiques comme le trafic. Le calcul vectoriel est utilisé pour décomposer ces forces en composantes vectorielles et analyser leur effet sur les éléments de la structure.

Par exemple, si nous avons une force de gravité agissant verticalement sur un pilier du pont, nous pouvons la représenter comme un vecteur avec une magnitude (la force) et une direction (vers le bas). En utilisant des techniques de calcul vectoriel, nous pouvons déterminer la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur le pilier pour analyser les contraintes résultantes et dimensionner le pilier de manière appropriée.

Les formules mathématiques du calcul vectoriel, telles que la somme vectorielle, le produit scalaire et le produit vectoriel, sont utilisées pour effectuer ces analyses de manière précise et efficace, assurant ainsi la sécurité et la fiabilité des structures architecturales.

B. Optimisation des matériaux et des ressources

Application du calcul différentiel pour minimiser les coûts de construction tout en maximisant la durabilité

L’optimisation des matériaux et des ressources est un aspect crucial de la conception architecturale, visant à minimiser les coûts de construction tout en garantissant la durabilité et la qualité des structures. Le calcul différentiel est utilisé pour résoudre ces problèmes d’optimisation en trouvant les valeurs maximales ou minimales d’une fonction, généralement sous contraintes.

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Ok j’ai compris, vous voulez un exemple concret n’est-ce pas ? 😅

Par exemple, supposons que nous devons choisir l’épaisseur optimale d’une poutre en béton pour supporter une charge donnée tout en minimisant les coûts de construction. En utilisant le calcul différentiel, nous pouvons déterminer la dérivée de la fonction coût par rapport à l’épaisseur de la poutre, puis égaler cette dérivée à zéro pour trouver le point où le coût est minimal.

Ensuite, en ajoutant des contraintes telles que la résistance minimale requise du matériau et les limitations budgétaires, nous pouvons résoudre un problème d’optimisation sous contraintes pour trouver la meilleure solution possible.

Les techniques de calcul différentiel, telles que les dérivées, les points critiques, et les multiplicateurs de Lagrange, sont utilisées pour résoudre ces problèmes d’optimisation, permettant aux architectes de concevoir des structures efficaces et économiques tout en maximisant leur durabilité et leur performance.

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Inutile de trop s’attarder sur le calcul différentiel, ce n’est pas au programme de Terminale.

Conclusion

A. Récap de l’importance des mathématiques en architecture

Les mathématiques jouent un rôle crucial dans tous les aspects de l’architecture, depuis la conception initiale jusqu’à la construction finale. Nous avons vu comment les principes mathématiques, tels que la géométrie, l’algèbre, la trigonométrie, le calcul vectoriel et le calcul différentiel, sont utilisés pour résoudre des problèmes architecturaux complexes, tels que le dimensionnement des fondations, l’analyse des forces structurelles, et l’optimisation des ressources. Sans une compréhension approfondie des mathématiques, il serait impossible de concevoir des structures esthétiquement belles, fonctionnelles et durables.

B. Ouverture sur l’avenir de l’architecture et de son lien avec les avancées mathématiques #préparation à l’entretien

Alors que l’architecture évolue avec les avancées technologiques et les nouvelles tendances de design, le lien entre l’architecture et les mathématiques devient de plus en plus important. De nouvelles méthodes de modélisation mathématique, telles que la modélisation paramétrique et la conception générative, permettent aux architectes d’explorer des formes et des structures innovantes qui auraient été impossibles à réaliser autrement. De plus, les développements futurs dans les mathématiques appliquées, tels que l‘intelligence artificielle et l’apprentissage automatique, pourraient révolutionner la manière dont nous concevons, construisons et vivons dans nos environnements bâtis.

C. Invitation à réfléchir sur l’interdisciplinarité entre les mathématiques et d’autres domaines créatifs

Enfin, cette exploration du rôle des mathématiques en architecture nous invite à réfléchir sur l’interdisciplinarité entre les mathématiques et d’autres domaines créatifs. L’architecture est un domaine qui touche à de nombreux aspects de la vie humaine, de l’art à l’ingénierie en passant par la sociologie et l’environnement (encore plus important aujourd’hui vu l’état actuelle de notre planète !). En collaborant avec des experts d’autres disciplines, les mathématiciens et les architectes peuvent repousser les limites de la conception architecturale, en créant des espaces qui non seulement répondent aux besoins humains, mais qui inspirent également l’imagination et la créativité.

Ainsi, les mathématiques sont véritablement au cœur de l’architecture, fournissant les outils et les principes nécessaires pour transformer les idées en réalité. L’avenir de l’architecture est intimement lié aux progrès des mathématiques, ouvrant la voie à de nouvelles possibilités et à de nouvelles formes d’expression architecturale.

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